সৃজনশীলঃ ‘…’ সরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ ২০২৬ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\tan \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{m-1}{m+1}}\tan \frac{C}{2}$

বা, ${\tan }^2\frac{A}{2}=\frac{m-1}{m+1}{\tan }^2\frac{C}{2}$ [বর্গ করে]

বা, $\frac{{\sin }^2\frac{A}{2}}{{\cos }^2\frac{A}{2}}=\frac{m-1}{m+1}\frac{{\sin }^2\frac{C}{2}}{{\cos }^2\frac{C}{2}}$

বা, $\frac{{\cos }^2\frac{A}{2}}{{\sin }^2\frac{A}{2}}=\frac{m{\cos }^2\frac{C}{2}+{\cos }^2\frac{C}{2}}{m{\sin }^2\frac{C}{2}-{\sin }^2\frac{C}{2}}$ [ব্যস্তকরণ করে]

বা, $\frac{{\cos }^2\frac{A}{2}-{\sin }^2\frac{A}{2}}{{\cos }^2\frac{A}{2}+{\sin }^2\frac{A}{2}}=\frac{m{\cos }^2\frac{C}{2}+{\cos }^2\frac{C}{2}-m{\sin }^2\frac{C}{2}+{\sin }^2\frac{C}{2}}{m{\cos }^2\frac{C}{2}+{\cos }^2\frac{C}{2}+m{\sin }^2\frac{C}{2}-{\sin }^2\frac{C}{2}}$

[বিয়োজন-যোজন করে]

বা, $\frac{\cos 2\cdot \frac{A}{2}}{1}=\frac{m({\cos }^2\frac{C}{2}-{\sin }^2\frac{C}{2})+({\cos }^2\frac{C}{2}+{\sin }^2\frac{C}{2})}{m({\cos }^2\frac{C}{2}+{\sin }^2\frac{C}{2})+({\cos }^2\frac{C}{2}-{\sin }^2\frac{C}{2})}$

বা, $\cos A=\frac{m\cos C+1}{m+\cos C}$ ........ (1)

চিত্রে, $A={90}^{\circ },B={60}^{\circ }$,

$\therefore {}^{\prime }C={90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }$

(1) নং হতে পাই,

$\therefore \cos {90}^{\circ }=\frac{m\cdot \cos {60}^{\circ }+1}{m+\cos {60}^{\circ }}$

বা, $0=\frac{m\frac{1}{2}+1}{m+\frac{1}{2}}$

বা, $\frac{m}{2}+1=0$

বা, $\frac{m}{2}=-1$

বা, $m=-2$

নির্ণেয় মান : $m=-2$.

চিত্রে $\angle B={60}^{\circ }$

বা, $\cos B=\cos {60}^{\circ }$

বা, $\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{1}{2}$

বা, $a^2+c^2-b^2=ac$

বা, $c^2+a^2-b^2-\mathrm{ac}=0$

বা, $a^2+b^2+c^2-ac-2b^2=0$

বা, $(a+b+c{)}^2-2ab-2bc-2ac-ac-2b^2=0$

বা, $(a+b+c{)}^2+ab+bc+b^2=3ac+3ab+3bc+3b^2$

বা, $(a+b+c{)}^2+b(a+b+c)=3a(b+c)+3b(b+c)$

বা, $(a+b+c)(a+b+c+b)=3(b+c)(a+b)$

বা, $(a+b+c)\left\{\right(a+b)+(b+c\left)\right\}=3(b+c)(a+b)$

বা, $\frac{(a+b)+(b+c)}{(b+c)(a+b)}=\frac{3}{a+b+c}$

$\therefore \frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}=\frac{3}{a+b+c}$ (প্রমাণিত)