সৃজনশীলঃ ‘সরল ছন্দিত স্পন্দনে…’ যশোর বোর্ড ২০২৪ – পর্যাবৃত্ত গতি, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

আমরা জানি, সরল ছন্দিত স্পন্দন সম্পন্ন কোনো কণার ত্বরণ সাম্যাবস্থা থেকে এর সরণের সমানুপাতিক ও বিপরীতমুখী। সম্পর্কটির গাণিতিক রূপটি হলো  $a\propto -x$ বা, $a=-kx$  এই সমীকরণটিকে গ্রাফে রূপ দিলে গ্রাফটি দাঁড়ায়-

অর্থাৎ, গ্রাফটি একটি মূলবিন্দুগামী সরলরেখা যার ঢাল ঋণাত্মক। সরণ ধনাত্মক হলে ত্বরণ ঋণাত্মক হয় এবং সরণ ঋণাত্মক হলে ত্বরণ ধনাত্মক হয়।

উদ্দীপক অনুসারে, কৌণিক কম্পাঙ্ক, $\omega =0.5\pi {\text{rads}}^{-1}$

কণার ভর, $m=0.1\text{ kg}$

বিস্তার, $A=0.1\text{ m}$

এখন, ${\omega }^2=\frac{k}{m}$

বা, $k={\omega }^{2}m$

$\therefore$ সর্বোচ্চ প্রত্যয়নী বল,

$\begin{array}{cc}{F}_{max}& =-kA=-{\omega }^{2}mA\\ & =-{\left(0.5\pi {\text{rads}}^{-1}\right)}^2\times 0.1\text{ kg}\times 0.1\text{ m}\\ & =-0.025\text{ N}\end{array}$

[এখানে ঋণাত্মক চিহ্ন প্রত্যয়নী বল নির্দেশক]

অতএব, উদ্দীপক অনুসারে সর্বোচ্চ বিস্তারে কণাটির উপর ক্রিয়ারত প্রত্যয়নী বল $0.025\text{ N}$.

এখানে, কণার বিস্তার, $A=0.1m$

কৌণিক কম্পাঙ্ক, $\omega =0.5\pi \mathrm{rad}{s}^{-1}$ 

কণার ভর, $\text{m}=0.75\text{ kg}$

সাম্যাবস্থা হতে সরণের সমীকরণ : $x=0.1\sin (0.5\pi t+\frac{\pi }{5})$

এখন, ${\omega }^2=\frac{k}{m}$

বা, $k={\omega }^{2}m={\left(0.5\pi \mathrm{rad}{s}^{-1}\right)}^2\times 0.1\mathrm{kg}=0.25{\mathrm{Nm}}^{-1}$

$t=0.5s-\Omega$ সরণ, $x_1=0.1\times \sin (0.5\pi \times 0.5+\frac{\pi }{5})m$

$=0.0988m$

$t=0.75s$-এ সরণ, $R_2=0.1\times \sin (0.5\pi \times 0.75+\frac{\pi }{5})m$

$=0.0972m$

$\therefore 0.5s$ পর গতিশক্তি,

$E_{k_1}=\frac{1}{2}k(A^2-x_1^2)$
$=\frac{1}{2}\times 0.25N{m}^{-1}\times \left\{\right(0.1m{)}^2-\left(0.0988m{)}^2\right\}$
$=2.98\times {10}^{-5}J$

$0.5\text{ s}$ পর কণাটির বিভবশক্তি,

$\begin{array}{cc}{E}_{p_1}=\frac{1}{2}{\mathrm{kx}}_1^2& =\frac{1}{2}\times 0.25N{m}^{-1}\times (0.0988m{)}^2\\ & =1.22\times {10}^{-3}J\end{array}$

$\therefore 0.5\text{ s}$ পর কণাাটির মোট যান্ত্রিক শক্তি,

$\begin{array}{cc}{E}_1=E_{k_1}+E_{p_1}& =(2.98\times {10}^{-5}+1.22\times {10}^{-3})J\\ & =1.25\times {10}^{-3}J\end{array}$

আবার, $0.75\text{ s}$ পর কণাটির গতিশক্তি,

$\begin{array}{cc}{E}_{k_2}& =\frac{1}{2}k(A^2-x_2^2)\\ & =\frac{1}{2}\times 0.25N{m}^{-1}\times \left\{\right(0.1m{)}^2-\left(0.0972m{)}^2\right\}=6.9\times {10}^{-5}J\end{array}$

$0.75\text{ s}$ পর কণাটির বিভবশক্তি,

$E_{P_2}=\frac{1}{2}{\mathrm{kx}}_2{}^2=\frac{1}{2}\times 0.25N{m}^{-1}\times (0.0972m{)}^2=1.18\times {10}^{-3}J$

$\therefore 0.75\text{ s}$ পর কণাটির মোট যান্ত্রিক শক্তি,

$\begin{array}{cc}{E}_2& =E_{K_2}+E_{P_2}\\ & =6.9\times {10}^{-5}J+1.18\times {10}^{-3}J=1.25\times {10}^{-3}J\end{array}$

গাণিতিক বিশ্লেষণ হতে দেখা যাচ্ছে, $E_1=E_2$

অতএব, $t=0.5$ সেকেন্ড ও $t=0.75$ সেকেন্ড সময়ে কণাটি যান্ত্রিক শক্তির নিত্যতা মেনে চলবে।