সৃজনশীলঃ ‘সরল ছন্দিত স্পন্দনে…’ রাজশাহী ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – পর্যাবৃত্ত গতি, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

রাবারের বেল্ট বেশিদিন ব্যবহার করলে ঢিলা হয়ে যাওয়ার কারণ রাবারের স্থিতিস্থাপকতার ক্লান্তি। আমরা জানি, বল প্রয়োগ করলে বস্তুর বিকৃতি ঘটে এবং বল অপসারণ করলে স্থিতিস্থাপকতার জন্য বস্তু পূর্বের অবস্থায় ফিরে আসে। তবে স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে কোনো বস্তুর উপর পীড়ন ক্রমাগত হ্রাস-বৃদ্ধি বা অনেকদিন ধরে প্রয়োগ করলে এর স্থিতিস্থাপকতা হ্রাস পায় ফলে বল অপসারণের পরেও পূর্বের অবস্থা ফিরে যায় না। এ ঘটনাকে স্থিতিস্থাপক ক্লান্তি বলা হয়। বেল্টের উপর অনেকদিন ধরে ক্রমাগত পীড়নের হ্রাস-বৃদ্ধির কারণে রাবারের বেল্ট বেশিদিন ব্যবহার করলে ঢিলা হয়ে যায়।

এখানে,
বিস্তার, $A=25\mathrm{cm}$
পর্যায়কাল, $T=40s$
আদি সরণ ( $t=0s$ এ),
$y_0=8\mathrm{cm}$
সময়, $t=8s$
আদি দশা, $\varphi =?$
দশা, $\theta =?$

উদ্দীপক অনুসারে কণাটির গতির
সমীকরণ,

$y=25\sin (\omega t+\varphi )$

আমরা জানি, $\omega =\frac{2\pi }{T}$
বা, $\omega =\frac{2\pi }{40}=\frac{\pi }{20}{\mathrm{rads}}^{-1}$

$t=0s$ সময়ে , 

$y=A\sin (\omega t+\varphi )$

বা, $8=25\sin (\omega \times 0+\varphi )$
বা, $\sin \varphi =0.32$
বা, $\varphi ={\sin }^{-1}\left(0.32\right)=0.326\mathrm{rad}$
৮ সেকেন্ড পর দশা, $\theta =\omega t+\varphi$
বা, $\theta =(\frac{\pi }{20}\times 8)+0.326$
বা, $\theta =1.257+0.326$
$\therefore \theta =1.583\mathrm{rad}$

∴ আদি দশা $0.326rad$ এবং $8$ সেকেন্ড পর দশা $1.583rad$। (Ans.)

এখানে, প্রতিটি স্প্রিংয়ে $i$ ধুবক,

$k=2000{\mathrm{Nm}}^{-1}$

ভর, $m=4kg$

চিত্র-১ এর ক্ষেত্রে: এখানে দুটি
স্প্রিং শ্রেণিতে সংযুক্ত।

তুল্য স্প্রিং ধ্রুবক $k_s$ হলে,

$\frac{1}{k_s}=\frac{1}{k}+\frac{1}{k}$

বা,  $\frac{1}{k_s}=\frac{2}{k}$

বা, $k_s=\frac{k}{2}$ 

বা, $k_s=\frac{2000}{2}$

$\therefore k_{s_a}=1000{\mathrm{Nm}}^{-1}$

চিত্র-১ এর পর্যায়কাল, $T_1=2\pi \sqrt{\frac{m}{k_s}}$

বা, $T_1=2\pi \sqrt{\frac{4}{1000}}$ 

বা,  $T_1=2\pi \times 0.0632$ 

$\therefore T_1=0.397s$

চিত্র-২ এর ক্ষেত্রে: এখানে দুটি স্প্রিং সমান্তরালে এবং তাদের সাথে একটি স্প্রিং শ্রেণিতে সংযুক্ত।
সমান্তরাল অংশের তুল্য ধ্রুবক,

$k_p=k+k=2k=4000{\mathrm{Nm}}^{-1}$

সম্পূর্ণ ব্যবস্থার তুল্য ধ্রুবক $k_{eq}$ হলে, $\frac{1}{k_{eq}}=\frac{1}{k_p}+\frac{1}{k}$
বা, $\frac{1}{k_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{4000}+\frac{1}{2000}$
বা, $\frac{1}{k_{\mathrm{eq}}}=\frac{1+2}{4000}$
রা, $k_{\mathrm{eq}}=\frac{4000}{3}$

$\therefore k_{\mathrm{eq}}=1333.33{\mathrm{Nm}}^{-1}$

চিত্র-২ এর পর্যায়কাল, $T_2=2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{\mathrm{eq}}}}$
বা, $T_2=2\pi \sqrt{\frac{4}{1333.33}}$
বা, $T_2=2\pi \times 0.0548$

$\therefore T_2=0.344s$

গাণিতিক বিশ্নেষণ থেকে দেখা যাচ্ছে যে, $T_1>T_2$ । সুতরাং, চিত্র-১ এর পর্যায়কাল বেশি হবে।