সৃজনশীলঃ ‘স্রোতের অনুকূলে নৌকার…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৪ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

যে ভেক্টরের পাদবিন্দু বা প্রারম্ভিক বিন্দু কোনো নির্দিষ্ট স্থানে স্থির থাকে, তাকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর বলে। ইচ্ছে করলেই এই ধরনের ভেক্টরের পাদবিন্দু অন্য কোনো স্থানে সরানো যায় না।

প্রদত্ত ভেক্টর $\overrightarrow{r}=5\hat{i}+3\hat{j}$ হলো একটি অবস্থান ভেক্টর।

অবস্থান ভেক্টরের কাজ হলো প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর $(0,0)$ সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর (এক্ষেত্রে $(5,3)$ বিন্দুর) অবস্থান নির্দেশ করা। এর মানে হলো, $\overrightarrow{r}$ ভেক্টরটির পাদবিন্দু সর্বদা মূলবিন্দুতেই নির্দিষ্ট বা সীমাবদ্ধ থাকে। যেহেতু ভেক্টরটির পাদবিন্দু ইচ্ছামতো অন্য কোনো বিন্দুতে পরিবর্তন করার সুযোগ নেই এবং তা প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুতেই স্থির, তাই এটি একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর।

ধরি, স্থির পানিতে নৌকার বেগ = $v$ এবং স্রোতের বেগ = $u$

দেওয়া আছে,

স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ, $v+u=20{\text{ km h}}^{-1}$  ...... (i)

স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ, $v-u=10{\text{ km h}}^{-1}$ ...... (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই: $2v=30$ বা, $v=15{\text{ km h}}^{-1}$

সমীকরণ (i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই: $2u=10$ বা, $u=5{\text{ km h}}^{-1}$

ধরি, সোজা অপর পাড়ে পৌঁছাতে নৌকাটিকে স্রোতের দিকের সাথে $\alpha$ কোণে চালনা করতে হবে।

আমরা জানি, লব্ধি বেগের দিক $\theta$ হলে: $\tan \theta =\frac{v\sin \alpha }{u+v\cos \alpha }$

(এখানে, লব্ধি বেগ স্রোতের সাথে লম্ব বরাবর কাজ করবে, তাই $\theta ={90}^{\circ }$)

মান বসিয়ে পাই:

$\tan {90}^{\circ }=\frac{15\sin \alpha }{5+15\cos \alpha }$ [যেহেতু $\tan {90}^{\circ }=\infty$ বা $\frac{1}{0}$, তাই ভগ্নাংশটির হর শূন্য হতে হবে]

$5+15\cos \alpha =0$

$15\cos \alpha =-5$

$\cos \alpha =-\frac{5}{15}$

$\cos \alpha =-\frac{1}{3}$

$\alpha ={\cos }^{-1}(-\frac{1}{3})$

$\alpha \approx {109.47}^{\circ }$

$A$ হতে সোজা অপর পাড়ের $B$ বিন্দুতে পৌঁছাতে হলে নৌকাটিকে স্রোতের দিকের সাথে ${109.47}^{\circ }$ কোণে চালনা করতে হবে।

এখানে, নৌকার বেগ, $v=15{\text{km h}}^{-1}$ [গ হতে পাই]

নদীর বিস্তার, $AB=2km$
১ম ক্ষেত্রে, স্রোতের সাথে নৌকার বেগের মধ্যবর্তী কোণ,

${\alpha }_1=109.47\circ$ [গ হতে পাই]

এবং সোজাসুজি রওনা দিলে, ${\alpha }_2=90\circ$

এখন, প্রথম ক্ষেত্রে, নদী পাড়ি দিতে প্রয়োজনীয় সময়,

$\begin{array}{cc}{t}_1& =\frac{\mathrm{AB}}{v\sin {\alpha }_1}\\ & =\frac{2\mathrm{km}}{15\mathrm{km}{h}^{-1}\times \sin {109.47}^{\circ }}=0.14142h\end{array}$

এবং সোজাসুজি রওনা দিলে নদী পাড়ি দিতে প্রয়োজনীয় সময়,

$\begin{array}{cc}{t}_2& =\frac{\mathrm{AB}}{v\sin {\alpha }_2}\\ & =\frac{2\mathrm{km}}{15\mathrm{km}{h}^{-1}\times \sin {90}^{\circ }}=0.1333h\end{array}$

এখানে, $t_2<t_1$; অর্থাৎ দ্বিতীয় ক্ষেত্রে কম সময় লাগে।

সুতরাং, নদী পার হওয়ার জন্য নৌকাটি যদি $A$ বিন্দু হতে সোজাসুজি রওয়ানা করতো তাহলে নদী পার হতে পূর্বের চেয়ে সময় কম লাগতো।