সৃজনশীলঃ ‘…’ সিলেট বোর্ড ২০১৭ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপকের চিত্র হতে, $\cos A=\frac{X}{r}$

$\therefore A={\cos }^{-1}\frac{x}{r}$

এবং $\cos P=\frac{y}{r}$

$\therefore P={\cos }^{-1}\frac{y}{r}$

প্রশ্নমতে, ${\cos }^{-1}\frac{x}{r}+{\cos }^{-1}\frac{y}{r}=\varphi$
বা, ${\cos }^{-1}\{\frac{xy}{r^2}-\sqrt{(1-\frac{x^2}{r^2})(1-\frac{y^2}{r^2})}\}=\varphi$
বা, $\frac{xy}{r^2}-\sqrt{(1-\frac{x^2}{r^2})(1-\frac{y^2}{r^2})}=\cos \varphi$

বা, ${(\frac{\mathrm{xy}}{r^2}-\cos \varphi )}^2={\left(\sqrt{(1-\frac{x^2}{r^2})(1-\frac{y^2}{r^2})}\right)}^2$
বা, $\frac{x^2{y}^2}{r^4}-2\cdot \frac{xy}{r^2}\cos \varphi +{\cos }^2\varphi =(1-\frac{x^2}{r^2})(1-\frac{y^2}{r^2})$
বা, $\frac{x^2{y}^2}{r^4}-2\cdot \frac{xy}{r^2}\cos \varphi +{\cos }^2\varphi =1-\frac{y^2}{r^2}-\frac{x^2}{r^2}+\frac{x^2{y}^2}{r^4}$

বা,$\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}-\frac{2\mathrm{xy}}{r^2}\cos \varphi =1-{\cos }^2\varphi$

বা,$\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}-\frac{2\mathrm{xy}}{r^2}\cos \varphi ={\sin }^2\varphi$

$\therefore x^2+y^2-2xy\cos \varphi =r^2{\sin }^2\varphi$ ( প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$\begin{array}{cc}& f\left(\theta \right)=\frac{r}{x}=\sec \theta \\ & \therefore f\left(2\theta \right)=\sec 2\theta \end{array}$

প্রশ্নমতে, $f\left(2\theta \right)-f\left(\theta \right)=2$
বা, $\sec 2\theta -\sec \theta =2$
বা, $\frac{1}{\cos 2\theta }-\frac{1}{\cos \theta }=2$
বা,$\frac{\cos \theta -\cos 2\theta }{\cos 2\theta \cdot \cos \theta }=2$
বা, $\cos \theta -\cos 2\theta =2\cos 2\theta \cdot \cos \theta$
বা, $\cos \theta -\cos 2\theta =\cos \theta +\cos (2\theta +\theta )$
বা, $\cos 3\theta +\cos 2\theta =0$
বা, $2\cos \frac{3\theta +2\theta }{2}\cos \frac{3\theta -2\theta }{2}=0$
বা, $\cos \frac{5\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}=0$

এখন, $\cos \frac{5\theta }{2}=0$ আবার, $\cos \frac{\theta }{2}=0$
বা, $\frac{5\theta }{2}=(2n+1)\frac{\pi }{2}$ বা, $\frac{\theta }{2}=(2n+1)\frac{\pi }{2}$

$\therefore \theta =(2n+1)\frac{\pi }{5}\therefore \theta =(2n+1)\pi$

n = 0 হলে $\theta =\frac{\pi }{5},\pi$

n = 1 হলে  $\theta =\frac{3\pi }{5},3\pi$

n = -1 হলে $\theta =-\frac{\pi }{5},-\pi$

n = -2 হলে $\theta =-\frac{3\pi }{5},-3\pi$

$\therefore$ নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে নির্ণেয় সমাধান,

$\theta =\frac{\pi }{5},\pi ,-\frac{\pi }{5},-\frac{3\pi }{5},-\pi ,\frac{3\pi }{5}$ (Ans.)