সৃজনশীলঃ ‘…’ সিলেট বোর্ড ২০১৭ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, উপকেন্দ্র S(0, 2) এবং শীর্ষ A(3, 2)। ধরি, পরাবৃত্তের উপর একটি বিন্দু P(x, y) ও নিয়ামক রেখা MZ। আমরা জানি, Z ও ৪ এর মধ্যবিন্দু A। ধরি, Z এর স্থানাঙ্ক (x₁, y₁)

$\therefore \frac{x_1+0}{2}=3\frac{y_1+2}{2}=2$

বা, $x_1=6$  বা, $y_1+2=4$
               বা, $y_1=2$

 ∴ Z(6, 2)

পরাবৃত্তের অক্ষরেখার ঢাল, $m_1=\frac{2-2}{3-0}=0$
$\therefore$ নিয়ামক রেখার ঢাল, $m_2=\frac{-1}{0}[<m_1\times m_2=-1]$
$\therefore$ নিয়ামক রেখার সমীকরণ, $y-2=\frac{-1}{0}(x-6)$
বা, $-x+6=0$ বা, $x-6=0$
এখন, $\mathrm{SP}=\mathrm{PM}$
বা,  ${\mathrm{SP}}^2={\mathrm{PM}}^2$
বা,  $x^2+(y-2{)}^2=(x-6{)}^2$
বা, $x^2+(y-2{)}^2=x^2-12x+36$
বা, $(y-2{)}^2=-12(x-3)$, ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

যেহেতু, ${\mathrm{OB}}^{\prime }=4$ একক, সেহেতু ${\mathrm{SB}}^{\prime }=2+4=6$ একক

$\therefore \mathrm{SB}=6$ একক অর্থাৎ B বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,8)$

আবার, AS = A'S অর্থাৎ S, AA' এর মধ্যবিন্দু।

$\therefore A^{\prime }$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-3,2)$

BB' কে বৃহৎ অক্ষ এবং AA' কে ক্ষুদ্র অক্ষ ধরে

উপবৃত্তটির সমীকরণ, $\frac{x^2}{3^2}+\frac{(y-2{)}^2}{6^2}=1$
যেখানে $a=3,b=6(a<b)$
$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{\frac{b^2-a^2}{b^2}}=\sqrt{\frac{36-9}{36}}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\therefore$ উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $y-2=\pm$ be

বা, $y-2=\pm 6\times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\therefore y-2=\pm 3\sqrt{3}$ (Ans.)