সৃজনশীলঃ ‘…’ সিলেট বোর্ড ২০১৭ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ এ OPRQ সামান্তরিকটি পূর্ণ করি।

F₂ = K cosQ

$F_1$ ও $F_2$ এর মধ্যবর্তী কোণ R এবং লব্ধি F .

$\begin{array}{cc}& \therefore F^2=F_1^2+F_2^2+2F_1{F}_2\cos R\\ =& K^2{\cos }^{2}P+K^2{\cos }^{2}Q+2K\cos P\cdot K\cos Q\cdot \cos R\\ =& K^2{\cos }^{2}P+K^2{\cos }^{2}Q+2K^2\cos P\cdot \cos Q\cdot RR\\ =& K^2({\cos }^{2}P+{\cos }^{2}Q+{\cos }^{2}R+2\cos P\cdot \cos Q\cdot \cos R-{\cos }^{2}R)\end{array}$

$K^2(1-{\cos }^{2}R)[<P+Q+R=\pi$ হলে ${\cos }^{2}P$$+{\cos }^{2}Q+{\cos }^{2}R+2\cos P\cdot \cos Q\cdot \cos R=1]$

$\begin{array}{cc}& =K^2{\sin }^{2}R\\ & \therefore F=K\sin R\end{array}$ 

RP এর লম্ব বরাবর উপাংশ নিয়ে পাই,

                                     $F_1\sin 0^{\circ }+F_2\sin R=F\sin \phi$

বা, $K\cos Q\sin R=K\sin R\sin \phi$
বা, $\cos Q=\sin \theta [K\sin R$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $\sin (\frac{\pi }{2}-Q)=\sin \theta$ বা, $\frac{\pi }{2}-Q=\phi$
বা, $\frac{P+Q+R}{2}-Q=\phi [<P+Q+R=\pi ]$
বা, $\phi =\frac{P+Q+R}{2}-Q$

$\begin{array}{cc}\therefore & R-\phi =R-(\frac{P+Q+R}{2}-Q)\\ =& R-\frac{P+Q+R}{2}+Q=\frac{2R-P-Q-R+2Q}{2}\end{array}$

$=\frac{1}{2}(R+Q-P)$ (দেখানো হলো)

ধরি, $\angle \mathrm{QOS}=\alpha$

$\begin{array}{cc}& \angle \mathrm{QOR}=2\alpha \\ & \angle \mathrm{ROS}=\theta \end{array}$

এখানে, $\theta +\alpha +2\alpha =2\pi$
বা, $\theta =2\pi -3\alpha$

যেহেতু Q, R, S বলত্রয় O বিন্দুতে ক্রিয়ারত থেকে ভারসাম্য সৃষ্টি করেছে,

সেহেতু লামির উপপাদ্য অনুসারে, $\frac{Q}{\sin \theta }=\frac{R}{\sin \alpha }=\frac{S}{\sin 2\alpha }$

বা, $\frac{Q}{\sin (2\pi -3\alpha )}=\frac{R}{\sin \alpha }=\frac{S}{\sin 2\alpha }$

বা, $\frac{Q}{-\sin 3\alpha }=\frac{R}{\sin \alpha }=\frac{S}{\sin 2\alpha }$

বা, $\frac{Q}{-(3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha )}=\frac{R}{\sin \alpha }=\frac{S}{\sin 2\alpha }$

বা,  $\frac{Q}{\sin \alpha (4{\sin }^2\alpha -3)}=\frac{R}{\sin \alpha }=\frac{S}{2\sin \alpha \cos \alpha }$

বা,  $\frac{Q}{4{\sin }^2\alpha -3}=\frac{R}{1}=\frac{S}{2\cos \alpha }=\frac{R-Q}{4-4{\sin }^2\alpha }$

বা, $R=\frac{S}{2\cos \alpha }=\frac{R-Q}{4{\cos }^2\alpha }$

বা, $R^2=\frac{S^2}{4{\cos }^2\alpha }=\frac{R(R-Q)}{4{\cos }^2\alpha }[\because R=\frac{S}{2\cos \alpha }]$

$\therefore S^2=R(R-Q)$ (দেখানো হলো)