সৃজনশীলঃ ‘…’ সিলেট বোর্ড ২০১৯ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র $O(0,0)$

পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু $P(\frac{-4+0}{2},\frac{0+4}{2})$

বা, $P(-2,2)$

মনে করি, পরাবৃত্তের অক্ষরেখা Oz এবং নিয়ামকরেখা MZM' পরস্পর Z $(\alpha ,\beta )$ বিন্দুতে ছেদ করে।

$P,\mathrm{OZ}$ এর মধ্যবিন্দু হওয়ায়

P এর স্থানাঙ্ক $=(\frac{\alpha +0}{2},\frac{0+\beta }{2})$

বা, $(-2,2)=(\frac{\alpha }{2},\frac{\beta }{2})$

$\therefore \alpha =-4,\beta =4$

$\therefore Z(-4,4)$

AB স্পর্শকের সমীকরণ, $\frac{x}{-4},\frac{y}{4}=1$

বা, $x-y=-4$

$\therefore x-y+4=0.......\left(1\right)$

(1)এর সমান্তরাল MZM' রেখা অর্থাৎ নিয়ামকরেখার সমীকরণ,

$x-y+K=0$

(2); যা Z $(-4,4)$ বিন্দুগামী

$\therefore -4-4+k=0$

বা, $k=8$

$k$ এর মান (২) নং এ বসিয়ে পাই, $x-y+8=0$

নির্ণেয় নিয়ামকরেখার সমীকরণ, $x-y+8=0$

পরাবৃত্তের কেন্দ্র $O(0,0)$

উৎকেন্দ্রিকতা e $=\frac{1}{\sqrt{2}}$ উপকেন্দ্রদ্বয় $S(-b,b)$ ও $S^{\prime }(b,-b)$

নিয়ামকরেখা $\mathrm{AB}$ এর সমীকরণ,

$\frac{x}{-4}+\frac{y}{4}=1$

বা, $x-y=-4$

$\therefore x-y+4=0.........\left(i\right)$

উপবৃত্তের নিয়ামকরেখা ও অক্ষরেখা পরস্পর লম্ব

(i) নং এর উপর লম্বরেখার সমীকরণ,

$x+y+k=0........\left(ii\right)$

যেহেতু (ii) নং রেখা $O(0,0)$ বিন্দুগামী

সেহেতু $0+0+k=0$

$\therefore k=0$

(ii) নং এ $k$ এর মান বসিয়ে পাই,

$x+y=0.......\left(iii\right)$

(i)নং ও (iii) নং হতে পাই,

$x=-2$ এবং $y=2$

$\therefore$ निয়ামকরেখা ও অক্ষরেখার ছেদবিন্দু $Z(-2,2)$

কেন্দ্র $O(0,0)$ হতে (i) নং রেখার দূরত্ব, $\frac{a}{e}=\frac{|0+0+4|}{\sqrt{1+1}}$

বা, $\frac{a}{e}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$

বা, $a=2\sqrt{2}e$

বা, $a=2\sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}}$

এখন, ae $=2\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

চিত্রে OS $=\mathrm{ae}=\sqrt{2}$

OSD ত্রিভুজে

$b^2+b^2=(\sqrt{2}{)}^2$

বা, $2b^2=2$

বা, $b^2=\frac{2}{2}=1$

বা, $b=1$

$\therefore$ উপকেন্দ্রদ্বয় $S(-1,1)$ ও $S^{\prime }(1,-1).$