সৃজনশীলঃ ‘…’ সিলেট বোর্ড ২০২২ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ,

$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0......\left(i\right)$

বৃত্তটি x অক্ষকে স্পর্শ করলে, $g^2=c$ ...... (ii)

(1) নং বৃত্তটি $A(1,2),B(3,2)$ বিন্দুগামী $(1,2)$ বিন্দুগামী হলে,

$1+4+2g+4f+c=0$

$\Rightarrow 5+2g+4f+c=0......\left(iii\right)$

এবং $(3,2)$ বিন্দুগামী হলে,

$9+4+6g+4f+c=0$

$\Rightarrow 13+6g+4f+c=0.......\left(iv\right)$

(iii) - (iv)

$5+2g+4f+c=0$

$13+64+4f+c=0$

$–8–4g=0$

$\Rightarrow g=-2$

g এর মান (ii) নং এ বসিয়ে,

$C=(-2{)}^2$

$=4$

g ও c এর মান (iii) নং বসিয়ে পাই,

$5+2(-2)+4f+4=0$

$\Rightarrow 5-4+4f+4=0$

$\Rightarrow 4f=-5$

$\Rightarrow f=\frac{-5}{4}$

$g,f,c$ এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+2(-2)x+2(-\frac{5}{4})y+4=0$

$\Rightarrow x^2+y^2-4x-\frac{5}{2}y+4=0$

$\Rightarrow 2x^2+2y^2-8x-5y+8=0$

ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীরকণ।

বৃত্তের সমীকরণ,

$2x^2+2y^2-8x-5y+8=0$

$\Rightarrow x^2+y^2-4x-\frac{5}{2}y+4=0$

এখানে, $g=-2,f=-\frac{5}{4},c=a$

বৃত্তটির কেন্দ্র $(-g,-f)=(2,\frac{5}{4})$

ব্যাসার্ধ,

$P==\sqrt{g^2+f^2-c}$

$=\sqrt{4^2+\frac{25}{16}-4}=\frac{5}{4}$

ধরি, মূলবিন্দুগামী স্পর্শক, $y=mx$

$mx-y=0....\left(ii\right)$

কেন্দ্র $(2,\frac{5}{4})$ হলে, (ii) নং রেখার দূরত্ব = বৃত্তর ব্যাসার্ধ

$\Rightarrow \left|\frac{m\cdot 2-\frac{5}{4}}{\sqrt{m^2+1}}\right|=\frac{5}{4}$

$\Rightarrow {(2m-\frac{5}{4})}^2=\frac{25}{16}(m^2+1)$

$\Rightarrow 4m^2-2.2m+\frac{5}{4}+\frac{25}{16}=\frac{25}{16}{m}^2+\frac{25}{16}$

$\Rightarrow 4m^2-\frac{25}{16}{m}^2-5m=0$

$\Rightarrow 64m^2-25m^2-80m=0$

$\Rightarrow 39m^2-80m=0$

$\Rightarrow m(39m-80)=0$

$\Rightarrow 39m=80$

$\Rightarrow m=\frac{80}{39}$

$m$ এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

$\frac{80}{39}x-y=0$

$\Rightarrow \frac{80}{39}x=y$

$\Rightarrow 80x=39y$

$\Rightarrow 80x-39y=0$

ইহাই স্পর্শকের সমীকরণ।