সৃজনশীলঃ ‘…’ সিলেট বোর্ড ২০২৩ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $A(-8,0)$ এবং $B(0,6)$

$\therefore \mathrm{AB}=\sqrt{(-8-0{)}^2+(0-6{)}^2}$

$=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$

ধরি, বৃতেতের সমীকরণ,

$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ......... (1)

(1) নং বৃত্তটি $y$ অক্ষকে $B(0,6)$ বিন্দুতে স্পর্শ করে।

সুতরাং, কেন্দ্রের কোটির স্থানাঙ্ক হবে, $-f=6$

$\therefore f=-6$

এবং $y$ অক্ষকে স্পর্শ করলে, $f^2=c$

বা, $c=f^2=(-6{)}^2$

$\therefore c=36$

আবার, $x$ অক্ষ হতে কর্তিত অংশ $=\mathrm{AB}$

অর্থাৎ, $2\sqrt{g^2-c}=10$

বা, $\sqrt{g^2-c}=5$

বা, $\sqrt{g^2-36}=5$

বা, $g^2-36=25$

বা, $g^2=36+25=61$

$\therefore g=\pm \sqrt{61}$

সুতরাং (1) নং এ $g,f,c$ এর মান বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2\pm 2\sqrt{61}x-12y+36=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2\pm 2\sqrt{61}x-12y+36=0$.

ধরি, বৃত্তটির কেন্দ্র C বৃত্তটি $\Delta OAB$ এর একটি অন্ত:বৃত্ত।

সুতরাং ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্রই হবে বৃত্তটির কেন্দ্র।

এখানে, AB এর সমীকরণ,

বা, $\frac{y-6}{x–0}=\frac{0-6}{-8-0}$

বা, $\frac{y-6}{x}=\frac{3}{4}$

বা, $3x=4y-24$

$\therefore 3x-4y+24=0$ ......... (1)

OB এর সমীকরণ : $x=0$ ......... (2)

OA এর সমীকরণ : $y=0$ ......... (3)

OB ও OA এর সমদ্বিখন্ডক OC। তাই OC এর সমীকরণ হবে

$\frac{x}{\sqrt{1^2}}=\frac{\pm y}{\sqrt{1^2}}$

বা, $x=\pm y$

হয়, $y=x$ অथবা, $y=-x$

এখানে, $y=-x$ হবে। কারণ OC এর ঢাল ঋণাত্মক হবে।

$\therefore y=-x$.

আবার (1) ও (3) নং এর সমদ্বিখন্ডক $\mathrm{AC}$ এর সমীকরণ,

$\frac{y}{\sqrt{1^2}}=\pm \frac{(3x-4y+24)}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}$

বা, $y=\pm \frac{(3x-4y+24)}{\sqrt{25}}$

$\therefore y=\pm \frac{(3x-4y+24)}{5}$

এখানে, $\mathrm{AC}$ এর সমীকরণ হবে,

$y=+\frac{(3x-4y+24)}{5}$ [কারণ AC, x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে সুক্ষকোণ উৎপন্ন করে]

বা, $5y=3x-4y+24$

বা, $5y+4y=3x+24$

বা, $9y=3x+24$

$\therefore 3y=x+8$ ....... (5)

এখন, (4) ও (5) নং সমীকরণদ্বয়ের ছেদবিন্দুই হবে ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র বা বৃত্তটির কেন্দ্র।

সুতরাং $3y=-y+8$

$\therefore y=2$

$y$ এর মান (4) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$2=-x$

$\therefore x=-2$

সুতরাং বৃত্তটির কেন্দ্র $(-g,-f)\equiv (-2,2)$

অর্থাৎ $g=2,f=-2$

বৃত্তটি যেহেতু উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে,

তাই, $g^2=f^2=c$ বা, $c=(-2{)}^2=2^2=4$

$\therefore$ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ, $r=\sqrt{g^2+f^2-c}$

$=\sqrt{2^2+(-2{)}^2-4}=\sqrt{4+4-4}=\sqrt{4}=2$

এখন, $(-2,2)$ কেন্দ্র ও 2 ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ,

$(x+2{)}^2+(y-2{)}^2=2^2$

বা, $x^2+4x+4+y^2-4y+4=4$

বা, $x^2+y^2+4x-4y+4=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ $x^2+y^2+4x-4y+4=0$.