সৃজনশীলঃ ‘…’ সিলেট বোর্ড ২০২৩ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

কাজকে বল এবং বলের দিকে বস্তুর সরনের গুণফল দ্বারা প্রকাশ করা হয়। কোনো বস্তুর উপর F বল প্রয়োগ করে যদি S পরিমাণ সরণ হয়, কৃতকাজ W। সুতরাং W = F.s। আবার বলের একক N এবং সরণের একক m (মিটার)। তাই কাজের একক জুল বা Nm। অন্যদিকে টর্ককে প্রকাশ করা হয় কোনো বিন্দু বা অক্ষের সাপেক্ষে কোনো বলের ভ্রামকের মান বা বলের পরিমাণ ও অক্ষ হতে বলের ক্রিয়া রেখার লম্ব দূরত্বের গুণফল হিসেবে। মনে করি, টর্ক τ প্রয়োগকৃত বল F এবং লম্ব দূরত্ব r। তাহলে টর্ক τ = বল × লম্ব দূরত্ব = F × r। টর্কের একক = বলের একক × লম্ব দূরত্বের একক = N × m = Nm। 
অর্থাৎ উপরোক্ত আলোচনা থেকে বলা যায়, কাজ ও টর্কের একক অভিন্ন।

ধরি, 
    P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$
    Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=2\hat{i}-\hat{ȷ}+3\hat{k}$এবং $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ 

$\begin{array}{cc}\therefore \overrightarrow{PQ}& =\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\\ & =-2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}-(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})\\ & =-4\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\end{array}$

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ এর সমান্তরাল একক ভেক্টর, 

$\begin{array}{cc}P=\frac{\overrightarrow{PQ}}{\left|\overrightarrow{PQ}\right|}& =\frac{-4\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}}{\sqrt{(-4{)}^2+3^2+(-2{)}^2}}\\ & =\frac{-4\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}}{\sqrt{29}}\\ & =-\frac{4}{\sqrt{29}}\hat{i}+\frac{3}{\sqrt{29}}\hat{ȷ}-\frac{2}{\sqrt{29}}\hat{k}\end{array}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ 

ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর,

$=-\frac{4}{\sqrt{29}}\hat{i}+\frac{3}{\sqrt{29}}\hat{j}-\frac{2}{\sqrt{29}}\hat{k}$

Answer.

‘গ’ হতে পাই,

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}& =-4\hat{ı}+3\hat{j}-2\hat{k}\\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}& =2\hat{i}-\hat{ȷ}+3\hat{k}\\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}& =-2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\\ \therefore |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|& =\sqrt{2^2+(-1{)}^2+3^2}\\ & =\sqrt{14}\\ \therefore |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|& =\sqrt{(-2{)}^2+2^2+1^2}\\ & =\sqrt{9}=3\\ \therefore |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|& =\sqrt{(-4{)}^2+3^2+(-2{)}^2}\\ & =\sqrt{29}\end{array}$

এখন,

$\begin{array}{cc}& |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}{|}^2=29\\ & |\overrightarrow{\mathrm{OP}}{|}^2=14\\ & |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}{|}^2=9\end{array}$

এখানে, $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}{|}^2+|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}{|}^2\ne |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}{|}^2$ 

সুতরাং বলা যায়,  $\Delta \mathrm{OPG}$ সমকোণী ত্রিভুজ না।