সৃজনশীলঃ ‘…’ সিলেট বোর্ড ২০২৫ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ অনুসারে।
ধরি, প্রক্ষেপকের নিক্ষেপণ কোণ  $=\alpha$ 
এবং আনুভূমিক পাল্লা $=R$
'আমরা জানি, বায়ুশূন্য স্থানে
প্রক্ষিপ্ত কণার
সমীকরণ, 

$y=x\tan \alpha (1-\frac{x}{R})$ 

প্রথম উচ্চতার ক্ষেত্রে, $x=d_1$ এবং $y=d_2$

$\therefore d_2=d_1\tan \alpha (1-\frac{d_1}{R})$$.........\left(i\right)$

দ্বিতীয় উচ্চতার ক্ষেত্রে, $x=d_2$ এবং $y=d_1$

$\therefore d_1=d_2\tan \alpha (1-\frac{d_2}{R})$$.........\left(ii\right)$

$\left(i\right)$ নং কে $\left(ii\right)$ নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{d_2}{d_1}=\frac{d_1\tan \alpha (1-\frac{d_1}{R})}{d_2\tan \alpha (1-\frac{d_2}{R})}$ 

বা, $\frac{d_2^2}{d_1^2}=\frac{\frac{R-d_1}{R}}{\frac{R-d_2}{R}}=\frac{R-d_1}{R-d_2}$
বা, ${\mathrm{Rd}}_2{}^2-d_2{}^3={\mathrm{Rd}}_1{}^2-d_1{}^3$ বা, $R(d_1{}^2-d_2{}^2)=d_1{}^3-d_2{}^3$
বা, $R=\frac{(d_1-d_2)(d_1^2+d_1{d}_2+d_2^2)}{(d_1-d_2)(d_1+d_2)}$
$\therefore R=\frac{d_1^2+d_1{d}_2+d_2^2}{d_1+d_2}$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে.
বেলুনের আদিবেগ, $u=\sqrt{2\mathrm{gy}}$
সর্বোচ্চ উচ্চতা, $\mathrm{AB}=y=\frac{u^2}{2g}$

$\begin{array}{cc}& \mathrm{AC}=x\\ \therefore & \mathrm{BC}=\sqrt{x^2+y^2}\end{array}$ 

ধরি, শব্দের বেগ $v$ এবং $B$ হতে $A$ ও $C$ বিন্দুতে যেতে সময় লাগে যথাক্রমে $t_1$ ও $t_2(t_2>t_1)$ 

$A$ বিন্দুর জন্য :

$s=vt$

বা, $y={\mathrm{vt}}_1$
বা, $t_1=\frac{y}{v}$$.........\left(i\right)$

$C$ বিন্দুর জন্য :

$s=\mathrm{vt}$

বা, $\sqrt{x^2+y^2}=v{t}_2$
বা, $t_2=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{v}$$.........\left(ii\right)$

শর্তমতে,

$t_2-t_1=\frac{1}{n}$

বা, $\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{v}-\frac{y}{v}=\frac{1}{n}$
বা, $\frac{v}{n}=\sqrt{x^2+y^2}-y$
$\therefore v=n(\sqrt{x^2+y^2}-y)$ মি./সে. (প্রমাণিত)