সৃজনশীলঃ ‘T(x)=1+2x…’ ময়মনসিংহ গার্লস ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $T\left(x\right)=1+2x$

$\therefore T\left(x\right){(x-\frac{1}{x^2})}^5=(1+2x){(x-\frac{1}{x^2})}^5$

দ্বিপদী বিস্তৃতি অনুসারে, $(1+2x){(x-\frac{1}{x^2})}^5$

$\begin{array}{cc}=(1& +2x)[x^5+(\frac{5}{1})x^{5-1}{(-\frac{1}{x^2})}^1+(\frac{5}{2})\cdot x^{5-2}{(-\frac{1}{x^2})}^2\\ & +(\frac{5}{3})\cdot x^{5-3}\cdot {(-\frac{1}{x^2})}^3+(\frac{5}{4})\cdot x^{5-4}\cdot {(-\frac{1}{x^2})}^4+(\frac{5}{5}){(-\frac{1}{x^2})}^5]\end{array}$

$\begin{array}{cc}& =(1+2x)[x^5-5x^4\cdot \frac{1}{x^2}+\frac{5.4}{1.2}\cdot x^3\cdot \frac{1}{x^4}-\frac{5.4.3}{1.2.3}\cdot x^2\cdot \frac{1}{x^6}\\ & +\frac{5.4.3.2}{1.2.3.4}\cdot x\cdot \frac{1}{x^8}-\frac{1}{x^{10}}]\\ & =(1+2x)[x^5-5x^2+\frac{10}{x}-\frac{10}{x^4}+\frac{5}{x^7}-\frac{1}{x^{10}}]\\ & =x^5-5x^2+\frac{10}{x}-\frac{10}{x^4}+\frac{5}{x^7}-\frac{1}{x^{10}}+2x^6-10x^3+20-\frac{20}{x^3}+\frac{10}{x^6}-\frac{2}{x^9}\\ & =2x^6+x^5-10x^3-5x^2+20+\frac{10}{x}-\frac{20}{x^3}-\frac{10}{x^4}+\frac{10}{x^6}+\frac{5}{x^7}-\frac{2}{x^9}-\frac{1}{x^{10}}\end{array}$

$\therefore (1+2x){(x-\frac{1}{x^2})}^5$ এর বিস্তৃতিতে ধ্রুবপদ $20.$

নির্ণেয় ধ্রুবপদ: $20.$

দেওয়া আছে, $T\left(x\right)=1+2x$

একটি ধারার $n$ তম পদ $U_n=\frac{1}{\left[T\right(x){]}^n},n=1,2,3,......$

$=\frac{1}{(1+2x{)}^n}$

$n=1$ হলে, $U_1=\frac{1}{1+2x}$

$n=2$ হলে, $U_2=\frac{1}{(1+2x{)}^2}$

$n=3$, হলে, $U_3=\frac{1}{(1+2x{)}^3}$

$n=4$ হলে, $U_4=\frac{1}{(1+2x{)}^4}$

∴ ধারাটির হলো : $\frac{1}{1+2x}+\frac{1}{(1+2x{)}^2}+\frac{1}{(1+2x{)}^3}+\frac{1}{(1+2x{)}^4}+\dots$

এখানে, প্রথম পদ, $a=\frac{1}{1+2x}$

সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{\frac{1}{(1+2x{)}^2}}{\frac{1}{1+2x}}=\frac{1}{1+2x}$ গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি $-1<r<1$ হয়

বা, $-1<\frac{1}{1+2x}<1$ হয়

এখন, $-1<\frac{1}{1+2x}$

বা, $-1>1+2x$
বা, $1+2x<-1$
বা, $2x<-1-1$
বা, $2x<-2$

$\therefore x<-1$

অথবা, $\frac{1}{1+2x}<1$

বা, $1+2x>1$
বা, $2x>1-1$
বা, $2x>0$
$\therefore x>0$

$\therefore$ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি $x<-1$ অথবা $x>0$ হয়। 

অসীমতক সমষ্টি,

$\begin{array}{cc}{S}_{\propto }=\frac{a}{1-r}& =\frac{\frac{1}{1+2x}}{1-\frac{1}{1+2x}}\\ & =\frac{\frac{1}{1+2x}}{\frac{1+2x-1}{2x+1}}\\ & =\frac{1}{1+2x}\times \frac{1+2x}{2x}=\frac{1}{2x}\end{array}$

নির্ণেয় শর্ত: $x<-1$ অথবা x > 0 এবং অসীমতক সমষ্টি $\frac{1}{2x}$