সৃজনশীলঃ ‘তিনটি বিন্দু P,…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৪ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুকে মূলবিন্দু ধরে যে ভেক্টর অঙ্কন করা হয় তাকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর বলে। আবার, প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে যে ভেক্টর দিয়ে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করা হয় তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।

ব্যাখ্যা: চিত্রে ০ প্রসঙ্গ কাঠামো XY এর মূলবিন্দু। P (x, y)  যেকোনো বিন্দু। $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$  ভেক্টরটি ০ বিন্দুর সাপেক্ষে P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর। একে $\overrightarrow{r}$  দিয়ে প্রকাশ করা হয়। সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{r}$

 প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দু থেকে ধনাত্মক X ও Y অক্ষ বরাবর দূরত্ব যথাক্রমে x ও y এবং একক ভেক্টর  $\hat{i}$ ও $\hat{j}$ হলে,

দ্বিমাত্রিক অবস্থান ভেক্টর, $\overrightarrow{r}=\hat{x}\hat{i}+y\hat{j}$

যেহেতু, অবস্থান ভেক্টর অঙ্কন করা হয় একটি বিন্দুকে মূলবিন্দু ধরে। তাই এ ভেক্টর সীমাবদ্ধ ভেক্টর।

এখানে, $P$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\overrightarrow{OP}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$

$Q$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\overrightarrow{OQ}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$
$R$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\overrightarrow{OR}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$
$=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}-2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}=\hat{i}-\hat{k}$

আবার, $\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\overrightarrow{\mathrm{OR}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}-2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}=-\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}$

এখন, $\overrightarrow{PQ}$ ও $\overrightarrow{PR}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে,

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}||\overrightarrow{\mathrm{PR}}|\cos \theta$ 

বা, $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}}{\overrightarrow{⟶}||\overrightarrow{\mathrm{PR}}\mid }=\frac{(\hat{i}-\hat{k})\cdot (-\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}\sqrt{(-1{)}^2+(-2{)}^2+2^2}}$ 

 বা, $\cos \theta =\frac{-1-2}{\sqrt{2}\times 3}=\frac{-3}{3\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ 

$\therefore \theta ={\cos }^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})={135}^{\circ }$ 

অতএব, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{PR}}$ এর মধ্যবর্তী কোণ ${135}^{\circ }$.

এখানে,

$P$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\overrightarrow{OP}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$
$Q$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\overrightarrow{OQ}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$
$R$ বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর, $\overrightarrow{OR}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{OP}},\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{OR}}$  ভেক্টরগুলো একই সমতলে অবস্থিত হবে যদি $(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\times \overrightarrow{\mathrm{OQ}})\cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}=0$ হয়।

এখন,

 $\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{OP}}\times \overrightarrow{\mathrm{OQ}}& =\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 2& -1& 3\\ 3& -1& 2\end{array}\right|\\ & =\hat{i}(-2+\hat{3})-j(4-9)+\hat{k}(-2+3)\\ & =\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k}\end{array}$

$\therefore (\overrightarrow{OP}\times \overrightarrow{OQ})\cdot \overrightarrow{OR}=(i+5\hat{j}+\hat{k})\cdot (\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k})$
$=1-15+5=-9$

অর্থাৎ,  $(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\times \overrightarrow{\mathrm{OQ}}):\overrightarrow{\mathrm{OR}}\ne 0$

সুতরাং, বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত অবস্থান ভেক্টরগুলো একই সমতলে অবস্থিত নয়।