সৃজনশীলঃ ‘তিনটি বিন্দু P…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

$\overrightarrow{V}(x,y,z)$ দ্বারা একটি ভেক্টর ক্ষেত্র নির্দিষ্ট হলে এবং একে ক্ষেত্রের প্রত্যেক বিন্দুতে ব্যবকলন করা সম্ভব হলে ভেক্টর অপারেটর $\overrightarrow{\nabla }$ এবং $\overrightarrow{V}$ এর স্কেলার গুণন $\nabla \cdot \overrightarrow{V}$ কে $\overrightarrow{V}$ এর ডাইভারজেন্স বলে।

আমরা জানি, ভেক্টরের ডট গুণন বা স্কেলার গুণনে স্কেলার রাশি বা অদিক রাশি পাওয়া যায়। সুতরাং, ডাইভারজেন্স একটি অদিক রাশি।

এখানে, তিনটি বিন্দু $P(4,-2,3),Q(-2,4,5)$

এবং $R(-1,2,-2)$

$\therefore \overrightarrow{PQ}=(-2-4)\hat{i}+(4+2)\hat{j}+(5-3)\hat{k}=-6\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k}$

এবং $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=(-1+2)\hat{i}+(2-4)\hat{j}+(-2-5)\hat{k}=\hat{i}-2\hat{j}-7\hat{k}$

এখন, 

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\times \overrightarrow{\mathrm{QR}}& =\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ -6& 6& 2\\ 1& -2& -7\end{array}\right|\\ & =\hat{i}(-42+4)-\hat{j}(42-2)+\hat{k}(12-6)\\ & =-38\hat{i}-40\hat{j}+6\hat{k}\end{array}$

একক ভেক্টর $=\frac{\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\times \overrightarrow{\mathrm{QR}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\times \overrightarrow{\mathrm{QR}}|}=\frac{-38\hat{i}-40\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{(-38{)}^2+(-40{)}^2+6^2}}$

$=\frac{1}{2\sqrt{770}}(-38\hat{i}-40\hat{j}+6\hat{k})$

অতএব, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\times \overrightarrow{\mathrm{QR}}$-এর একক ভেক্টর $\frac{1}{2\sqrt{770}}(-38\hat{i}-40\hat{j}+6\hat{k})$.

এখানে, তিনটি বিন্দু $P(4,-2,3),Q(-2,4,5)$

এবং $R(-1,2,-2)$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PR}}=(-1-4)\hat{i}+(2+2)\hat{j}+(-2-3)\hat{k}=-5\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k}$

'গ' হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-6\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k}$

এবং $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\hat{i}-2\hat{j}-7\hat{k}$

এখন, $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\sqrt{(-6{)}^2+6^2+2^2}=\sqrt{76}$

$|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|=\sqrt{1^1+(-2{)}^2+(-7{)}^2}=\sqrt{54}$

এবং $|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|=\sqrt{(-5{)}^2+4^2+(-5{)}^2}=\sqrt{66}$

এখানে, $|\overrightarrow{\mathrm{QR}}{|}^2+|\overrightarrow{\mathrm{PR}}{|}^2=(\sqrt{54}{)}^2+(\sqrt{66}{)}^2=120$

এবং $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}{|}^2=(\sqrt{76}{)}^2=76$

অর্থাৎ $|\overrightarrow{\mathrm{QR}}{|}^2+|\overrightarrow{\mathrm{PR}}{|}^2\ne |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}{|}^2$

সুতরাং, উদ্দীপকের বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করবে না।