সৃজনশীলঃ ‘তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক…’ ২০২৬ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$P(4,-1,2),Q(0,-2,3),R(1,-5,-1)$
কেন্দ্র C(2,-3,1)
P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=4\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$
$Q$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=0\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$
$R$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\hat{i}-5\hat{j}-\hat{k}$
C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{CP}}=(4\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})-(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k})$
$=2\hat{i}+2\hat{k}+\hat{k}$

$\therefore |\overrightarrow{\mathrm{CP}}|=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=3$
$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=(0\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k})-(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k})$
$=-2\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$
$|\overrightarrow{\mathrm{CQ}}|=\sqrt{(-2{)}^2+1^2+2^2}=3$
$\overrightarrow{\mathrm{CR}}=(\hat{i}-5\hat{j}-\hat{k})-(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k})$
$=-\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}$
$|\overrightarrow{\mathrm{CR}}|=\sqrt{(-1{)}^2+(-2{)}^2+(-2{)}^2}=3$
$\because |\overrightarrow{\mathrm{CP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CR}}|$

P, Q, R বিন্দুত্রয় গোলকের উপর অবস্থিত যার কেন্দ্র C. (প্রমাণিত)

${\mathrm{AC}}_2:{\mathrm{AC}}_1=4:3$
A বিন্দু $C_1{C}_2$ কে $4:3$ অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।

$\therefore A(\frac{4.0-3.4}{4-3},\frac{4.0-3.(-1)}{4-3})$
$A(-12,3)$

ধরি, $A$ বিন্দুগামী সরলরেখা, $y-3=m(x+12)$
বা, $m(x+12)-y+3=0$
(i) নং রেখা $C_1$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তকে স্পর্শ করে, $(0,0)$ হতে (i) নং রেখার দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ

$\frac{\left|m\right(0+12)-0+3|}{\sqrt{m^2+1^2}}=3$

বা, $\frac{|12m+3|}{\sqrt{m^2+1}}=3$
বা, $\frac{(12m+3{)}^2}{m^2+1}=3^2$ [বর্গ করে]
বা, $144m^2+72m+9=9m^2+9$
বা, $136m^2+72m=0$
বা, $17m^2+9m=0$
বা, $m(17m+9)=0$
হয়, $m=0$

অথবা, $17m+9=0$
বা, $m=\frac{-9}{17}$

(i) নং এ m এর মান বসিয়ে পাই,
$m=0$ বসিয়ে, $y-3=0.(x+12)$
বা, $y-3=0$
$m=\frac{-9}{17}$ বসিয়ে, $y-3=\frac{-9}{17}(x+12)$
বা, $17y-51=-9x-108$
বা, $9x+17y+57=0$
নির্ণেয় স্পর্শকয়, $y-3=0$ এবং $9x+17y+57=0$.