সৃজনশীলঃ ‘তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক…’ সিলেট বোর্ড ২০১৭ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

A $(a,-1),B(0,-2)$ এবং $C(-2,-4)$

$\therefore \mathrm{AB}$ এর মধ্যবিন্দু $(\frac{a+0}{2},\frac{-1-2}{2})\equiv (\frac{a}{2},\frac{-3}{2})$

প্রশ্নমতে, $\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}\therefore a=\sqrt{5}$

$A(\sqrt{5},-1)$ ও $B(0,-2)$ বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমীকরণণ, $\frac{x-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-0}=\frac{y+1}{-1+2}$

বা, $x-\sqrt{5}=\sqrt{5}y+\sqrt{5}$

$\therefore x-\sqrt{5}y-2\sqrt{5}=0\dots \dots \dots$ (i)

(i) নং রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব রেখার সমীকরণ,

$\sqrt{5}x+y+k=0$

(ii) নং $C(-2,-4)$ বিন্দুগামী।

$\sqrt{5}(-2)-4+k=0\therefore k=4+2\sqrt{5}$

$k$ এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

$\sqrt{5}x+y+4+2\sqrt{5}=0\text{ (Ans.) }$

$\Delta \mathrm{ABC}$ এর ক্ষেফল $=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}a& -1& 1\\ 0& -2& 1\\ -2& -4& 1\end{array}\right|$

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}a-0& -1+2& 1-1\\ 0+2& -2+4& 1-1\\ -2& -4& 1\end{array}\right|$

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}a& 1\\ 2& 2\end{array}\right|=\frac{1}{2}(2a-2)$

$=(a-1)$ বর্গ একক

প্রশ্নমতে, $a-1=1\therefore a=2$

$C(-2,-4)$ কেন্দ্র এবং বৃত্তটি $A(2,-1)$ বিন্দুগামী।

$\therefore$ ব্যাসার্ধ $=\sqrt{(-2-2{)}^2+(-4+1{)}^2}=5$

বৃত্তের সমীকরণ, $(x+2{)}^2+(y+4{)}^2=5^2$

বা, $x^2+4x+4+y^2+8y+16=25$

$\therefore x^2+y^2+4x+8y-5=0$ (Ans.)