সৃজনশীলঃ ‘তিনটি তেজশ্ক্রিয় পদার্থ…’ বরিশাল বোর্ড ২০১৯ – পরমাণুর মডেল ও নিউক্লিয়ার পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ২য় পত্র (এইচএসসি)

গোলাকার পরিবাহীর চার্জের তল ঘনত্ব, চার্জের সমানুপাতিক। অর্থাৎ গোলাকার পরিবাহীর চার্জ যতগুণ বাড়ানো হবে চার্জের তলমাত্রিক ঘনত্ব ও তত গুণ বাড়বে।

সুতরাং কোনো গোলাকার পরিবাহীর আধান 4 গুণ করা হলে এর চার্জের তল ঘনত্বও 4 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

এখানে, $N_0=30\mathrm{gm};N_c=19.2\mathrm{gm};t=3\mathrm{yrs}$

আমরা জানি, $N_c=N_0{e}^{-{\lambda }_{c}t}$
বা, $e^{-{\lambda }_{ct}}=\frac{19.2}{30}$
বা, ${\lambda }_c=-\frac{\ln \left(\frac{19.2}{30}\right)}{3}=0.15{\mathrm{yrs}}^{-1}$
আবার, $\tau =\frac{1}{{\lambda }_c}=\frac{1}{0.15}$ yrs $=6.7$ yrs.
অতএব, উদ্দীপকের C মৌলটির গড় আয়ু 6.7 yrs ।

এখানে, $N_0=30\mathrm{gm};N_A=7.5\mathrm{gm};N_B=4.8\mathrm{gm};t=3\mathrm{yrs}$

এখন, $N_A=N_0{e}^{-{\lambda }_{A^t}}$

বা, ${\lambda }_A=-\frac{\ln \left(\frac{N_A}{N_0}\right)}{t}=-\frac{\ln \left(\frac{7.5}{30}\right)}{3}{\mathrm{yr}}^{-1}=0.46{\mathrm{yr}}^{-1}$

অনুরুপভাবে,

${\lambda }_B=-\frac{\ln \left(\frac{N_B}{N_0}\right)}{t}=-\frac{\ln \left(\frac{4.8}{30}\right)}{3}{\mathrm{yr}}^{-1}=0.6{\mathrm{yr}}^{-1}$

A মৌলের $30\%$ ক্ষয় হতে প্রয়োজনীয় সময়,

$t_A=-\frac{\ln \left(\frac{70}{100}\right)}{{\lambda }_A}=-\frac{\ln \left(\frac{70}{100}\right)}{0.46}yr=0.8\mathrm{yr}$

B মৌলের $24\%$ ক্য় হতে প্রয়াজাজনীয় সময়,

$t_B=-\frac{\ln \left(\frac{76}{100}\right)}{{\lambda }_B}=-\frac{\ln \left(\frac{76}{100}\right)}{0.6}\mathrm{yr}=0.46\mathrm{yr}$

উপরোক্ত গাগিতিক বিশ্লেষণ হতে দেখা যাচ্ছে, $t_A\ne t_B$ অতএব, A মৌলের $30\%$ এবং B মৌলের $24\%$ ক্ষয় হতে সমান সময় লাগবে না।