সৃজনশীলঃ ‘তিনটি ভেক্টর যথাক্রমে…’ ২০২৪ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

অ্যালুমিনিয়ামের দৃঢ়তার গুণাঙ্ক 2.6×10¹⁰Nm^-2 বলতে আমরা বুঝি যে, একটি অ্যালুমিনিয়ামের ঘনকের আকৃতি পরিবর্তন করে, 1 রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করতে । ঐ ঘনকের পৃষ্ঠের প্রতি একক বর্গমিটার ক্ষেত্রফলেল ওপর 2.6×10¹⁰N স্পর্শকীয় বল প্রয়োগ করতে হবে।

দেওয়া আছে,

$\overrightarrow{V}=(-4x-3y+az)\overrightarrow{1}+(bx+3y+5z)\overrightarrow{ȷ}+(4x+cy+3z)\overrightarrow{k}$

এবং ভেক্টর অপারেটর,

$\overrightarrow{\nabla }=\frac{\delta }{\delta x}\overrightarrow{l}+\frac{\delta }{\delta y}\overrightarrow{ȷ}+\frac{\delta }{\delta z}\overrightarrow{k}$

$\begin{array}{cc}& \therefore \text{ Curl }\overrightarrow{V}=\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{V}\\ & =\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{1}& \overrightarrow{ȷ}& \overrightarrow{k}\\ \frac{\delta }{\delta x}& \frac{\delta }{\delta y}& \frac{\delta }{\delta z}\\ -4x-3y+az& bx+3y+5z& 4x+cy+3z\end{array}\right|\end{array}$

= $\hat{ı}\left\{\frac{\delta }{\delta y}\right(-4x-3y+\mathrm{az})-\frac{\delta }{\delta z}(\mathrm{bx}+3y+5z\left)\right\}-\hat{ȷ}\left\{\frac{\delta }{\delta x}\right(-4x-cy+\mathrm{az})-\frac{\delta }{\delta z}(-4x-3y-az)+\}+$  $\hat{k}\left\{\frac{\delta }{\delta x}\right(bx+3y+5z)-\frac{\delta }{\delta y}(-4x-3y+az\left)\right\}$

$\therefore \mathrm{Curl}\overrightarrow{V}=\hat{ı}(C-5)-\hat{ȷ}(4-a)+\hat{k}(b+3)$

$\because \overrightarrow{V}$  ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল।

$\begin{array}{cc}& \therefore \text{ Curl }\overrightarrow{V}=0\\ & \Rightarrow \hat{ı}(C-5)-\hat{ȷ}(4-a)+\hat{k}(b+3)=0\\ & \therefore C-5=0\\ & \therefore C=5\end{array}$

 ∴এবং 4 – a = 0

 a = 4

আবার, b + 3 = 0

∴b = 3

$\overrightarrow{A}=2\overrightarrow{ı}+3\overrightarrow{ȷ}+\overrightarrow{k}$এবং $\overrightarrow{B}=4\overrightarrow{ı}+2\overrightarrow{ȷ}+3\overrightarrow{k}$

$\begin{array}{cc}& |\overrightarrow{A}|=\sqrt{2^2+3^2+1^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}\\ & |\overrightarrow{B}|=\sqrt{4^2+2^2+3^2}=\sqrt{16+4+9}=\sqrt{29}\end{array}$

$\therefore \overrightarrow{A}$ ভেক্টর অক্ষত্রয়ের সাথে  ${\alpha }_1,{\beta }_1,{\gamma }_1$ কোণ উৎপন্ন করে,

$\begin{array}{cc}& \therefore {\mathrm{Cos}}_1=\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{x}}{|\overrightarrow{A}|\cdot |\overrightarrow{x}|}=\frac{(2i+3j+k)\cdot \hat{i}}{\sqrt{14}\cdot 1}=\frac{2}{\sqrt{14}}\\ & \therefore {\alpha }_1={\cos }^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right)={57.7}^{\circ }\end{array}$

এবং  $\mathrm{Cos}{\beta }_1=\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{Y}}{|\overrightarrow{A}|\cdot |\overrightarrow{Y}|}=\frac{(2i+3j+k)\cdot \hat{j}}{\sqrt{14}\cdot 1}=\frac{3}{\sqrt{14}}$

$\therefore {\beta }_1={\cos }^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)={36.7}^{\circ }$

আবার, ${\mathrm{Cos}}_{{\gamma }_1}=\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{Z}}{|\overrightarrow{A}|\cdot |\overrightarrow{Z}|}=\frac{(2i+3j+k)\cdot \hat{ȷ}}{\sqrt{14}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{14}}$

$\therefore {\gamma }_1={\cos }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right)={74.5}^{\circ }$

আবার, 

$\overrightarrow{B}$ ভেক্টরটি অক্ষত্রয়ের সাথে α₂, β₂, γ₂কোণ উৎপন্ন করে,

$\begin{array}{cc}& \therefore \mathrm{Cos}{\alpha }_2=\frac{\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{x}}{|\overrightarrow{B}|\cdot |\overrightarrow{x}|}=\frac{(4i+2j+3k)\cdot \hat{i}}{\sqrt{29}\cdot 1}=\frac{4}{\sqrt{29}}\\ & \therefore {\alpha }_2={\cos }^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{29}}\right)={42.03}^{\circ }\end{array}$

এবং  $\mathrm{Cos}{\beta }_2=\frac{\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{Y}}{|\overrightarrow{B}|\cdot |\overrightarrow{Y}|}=\frac{(4i+2j+3k)\cdot \hat{j}}{\sqrt{29}\cdot 1}=\frac{2}{\sqrt{29}}$

$\therefore {\beta }_1={\cos }^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)={36.7}^{\circ }$

আবার, ${\mathrm{Cos}}_2=\frac{\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{Z}}{|\overrightarrow{B}|\cdot |\overrightarrow{Z}|}=\frac{(4i+2j+3k)\cdot \hat{k}}{\sqrt{29}\cdot 1}=\frac{3}{\sqrt{29}}$

$\therefore {\gamma }_2={\cos }^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)={56.15}^{\circ }$

ভেক্টর $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ পরস্পর সমান্তরাল হতে হলে তাদের সাথে অক্ষত্রয়ের সাথে উৎপন্ন কোণ সমান হতে হবে।

$\begin{array}{cc}& \therefore {\alpha }_1-{\alpha }_2={15.67}^{\circ }\\ & \therefore {\beta }_1-{\beta }_2=-{31.5}^{\circ }\end{array}$

এবং γ₁ – γ₂ = 18.35^o

∴ ভেক্টর  $\overrightarrow{A}$ও $\overrightarrow{B}$ পরস্পর সমান্তরাল হতে হলে তাদের সাথে অক্ষত্রয়ের সাথে উৎপন্ন কোণ সমান হতে হবে।

$\begin{array}{cc}& \therefore {\alpha }_1-{\alpha }_2={15.67}^{\circ }\\ & \therefore {\beta }_1-{\beta }_2=-{31.5}^{\circ }\end{array}$

এবং γ₁ – γ₂ = 18.35^o

∴ ভেক্টর $\overrightarrow{B}$ কে A ভেক্টরে পরস্পর সমান্তরাল করতে হলে $\overrightarrow{B}$ এর x অক্ষের কোণ 15.67o বাড়াতে হবে। Y-অক্ষের সাথে 31.5o কোণ কমাতে হবে এবং Z অক্ষের সাথে 18.35o কোণ বৃদ্ধি করতে হবে।