সৃজনশীলঃ ‘তিনটি ভেক্টর রাশি…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৯ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

ডানহাতি স্ক্রু নিয়ম অনুযায়ী, দুটি ভেক্টর যে সমতলে অবস্থিত, সেই সমতলের উপর লম্বভাবে একটি ডানহাতি স্কুকে রেখে প্রথম ভেক্টর হতে দ্বিতীয় ভেক্টরের দিকে ক্ষুদ্রতম কোণে ঘুরালে ত্রুটি যেদিকে অগ্রসর হবে সে দিক হবে ভেক্টরদ্বয়ের ক্রস গুণফলের দিক। একটি ডানহাতি স্কুকে সমতলে রেখে ডানদিকে ঘুরালে এটি নিচের দিকে যাবে এবং বামদিকে ঘুরালে এটি উপরের দিকে যাবে। তাই ডানহাতি স্ক্রু নিয়মের সাহায্যে দেখানো যায় যে, বোতলের মুখ ডানদিকে ঘুরালে বোতলের মুখ বন্ধ হয়ে যাবে আর বাম দিকে ঘুরালে বোতলের মুখ খুলে যাবে।

এখানে,

$\overrightarrow{A}=4\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}$

$\overrightarrow{B}=2\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$

$\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 4& 3& 5\\ 2& 1& 2\end{array}\right|$

$\begin{array}{cc}& =\hat{i}(6-5)-\hat{j}(8-10)+\hat{k}(4-6)\\ & =\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\end{array}$

$\therefore |\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|=\sqrt{1^2+(2{)}^2+(-2{)}^2}$$=\sqrt{1+4+4}=3$

সুতরাং $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ এর লম্ব দিকে একক ভেক্টর,

$\hat{\eta }=\pm \frac{\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|}=\pm \frac{\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}}{3}$

$=\frac{1}{3}(\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k})$ অথবা $-\frac{1}{3}(\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k})\text{ (Ans.) }$

এখানে,

$\overrightarrow{C}=x^{2}y\hat{i}+y^{2}z\hat{j}+z^{2}x\hat{k}$

$\overrightarrow{C}$ এর কার্ল $=\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{C}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ x^{2}y& y^{2}z& z^{2}x\end{array}\right|$

$=\hat{i}\{\frac{\partial }{\partial y}\left(z^{2}x\right)-\frac{\partial }{\partial z}\left(y^{2}z\right)\}-\hat{j}\{\frac{\partial }{\partial x}\left(z^{2}x\right)-\frac{\partial }{\partial z}\left(x^{2}y\right)\}$

$+\hat{k}\{\frac{\partial }{\partial x}\left(y^{2}z\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(x^{2}y\right)\}$

$=\hat{i}(0-y^2)-\hat{j}(z^2-0)+\hat{k}(0-x^2)$$=-y^2\hat{i}-z^2\hat{j}-x^2\hat{k}$

$\therefore$ কার্ল $(\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{C})$ এর ডাইভারজেন্স,

$\overrightarrow{\nabla }\cdot (\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{C})$

$=(\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z})\cdot (-y^2\hat{i}-z^2\hat{j}-x^2\hat{k})$

$=-\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(z^2\right)-\frac{\partial }{\partial z}\left(x^2\right)=0$

সুতরাং, দেখা যায় যে, উদ্দীপকের $\overrightarrow{C}$ ভেক্টরের কার্লের ডাইভারজেন্স শূন্য।