সৃজনশীলঃ ‘তিনটি ভেক্টর রাশি…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২২ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

তিনটি ভেক্টরের মধ্যে যেকোনো দুটি ভেক্টরের লব্ধি তৃতীয় ভেক্টরটির সমান ও বিপরীতমুখী হলে ভেক্টর তিনটির লব্ধি শূন্য হয়।

মনে করি, $\overrightarrow{A}\overrightarrow{B}$ এবং $\overrightarrow{C}$ তিনটি ভেক্টরের আদিবিন্দু O। $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ ভেক্টরের লব্ধি যদি $\overrightarrow{C}$ ভেক্টরের সমান ও বিপরীতমুখী হয় তবে,

$\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=-\overrightarrow{C}$ বা, $\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}=0$

অর্থাৎ তিনটি ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হতে পারে।

এখানে,

$\overrightarrow{A}=2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{B}=6\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}$

এখন, $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=(2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})\times (6\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k})$

বা, $\begin{array}{cc}\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}& =\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 2& 2& -1\\ 6& -3& 2\end{array}\right|\\ & =\hat{i}(4-3)-\hat{j}(4+6)+\hat{k}(-6-12)\\ & =\hat{i}-10\hat{j}-18\hat{k}\end{array}$

এখন, $|\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|=\sqrt{(1{)}^2+(-10{)}^2+(-18{)}^2}=\sqrt{425}$

মনে করি, $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ যে তলে অবস্থিত তার লম্ব অভিমুখে একক ভেক্টর $\hat{\eta }$ হলে আমরা পাই,

$\hat{\eta }=\pm \frac{\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|}=\pm \frac{\hat{i}-10\hat{j}-18\hat{k}}{\sqrt{425}}$

অতএব, $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ যে তলে অবস্থিত তার লম্ব দিকে একক ভেক্টর

$\pm \frac{\hat{i}-10\hat{j}-18\hat{k}}{\sqrt{425}}$

এখানে,

$\overrightarrow{C}=(6xy+z^3)\hat{ı}-(3x^2-z)\hat{ȷ}+(3x{z}^2-y)\hat{k}$

ভেক্টর অপারেটর $\overrightarrow{\nabla }=\frac{\delta }{\delta x}\hat{i}+\frac{\delta }{\delta y}\hat{j}+\frac{\delta }{\delta z}\hat{k}$

$\overrightarrow{C}$ ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল হবে যদি $\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{C}=0$ হয় 

এখন $\begin{array}{cc}& \overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{C}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 6\mathrm{xy}+z^3& -(3x^2-z)& 3{\mathrm{xz}}^2-y\end{array}\right|\\ & =\hat{i}\{\frac{\partial }{\partial y}(3{\mathrm{xz}}^2-y)+\frac{\partial }{\partial z}(3x^2-z)\}-\\ & \hat{j}\{\frac{\partial }{\partial x}(3x{z}^2-y)-\frac{\partial }{\partial z}(6xy+z^3)\}\\ & +\hat{k}\{-\frac{\partial }{\partial x}(3x^2-z)-\frac{\partial }{\partial y}(6\mathrm{xy}+z^3)\}\\ & \end{array}$

$=\hat{i}(0-1+0-1)-\hat{j}(3z^2-0-0-3z^2)$

$+\hat{k}(-6x+0-6x-0)$

$=-2\hat{i}-12x\hat{k}$

যেহেতু $\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{C}\ne 0$ তাই $\overrightarrow{C}$ ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল নয়।