সৃজনশীলঃ ‘তিनটি ভেষ্টের রাশি…’ ২০২৫ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

আমরা জানি, কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুকে মূলবিন্দু ধরে যে ভেক্টর অঙ্কন করা হয়, তাকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর বলে। অন্যদিকে, প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করা হয় তাকে ব্যাসার্ধ ভেক্টর বলে। অর্থাৎ, ব্যাসার্ধ ভেক্টর সর্বদা মূল বিন্দু থেকে হিসাব করতে হয়। তাই এটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর।

এখানে, $\overrightarrow{A}=4\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}$ 

এবং $\overrightarrow{B}=2\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ 

$\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ এর লম্ব দিকে একক ভেষ্টর, $\hat{n}=\pm \frac{\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|}$ 

এখন, $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=$$\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 4& 3& 5\\ 2& 1& 2\end{array}\right|$

$\begin{array}{cc}& =\hat{i}(6-5)-\hat{j}(8-10)+\hat{k}(4-6)\\ \therefore & \overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\\ \therefore & |\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|=\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}=3\\ \therefore & \hat{n}=\pm \frac{\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}}{3}\end{array}$

অতএব, উদ্দীপকের  $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ ভেক্টরদ্বয়ের লম্বদিকে একটি একক  ভেক্টর  $\pm \frac{\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}}{3}$,

এখানে, $\overrightarrow{C}=x^{2}y\hat{i}+y^{2}z\hat{j}+z^{2}x\hat{k}$ 

এখন, $\mathrm{curl}\overrightarrow{C}=\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{C}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ x^{2}y& y^{2}z& z^{2}x\end{array}\right|$

$\begin{array}{cc}=& \hat{i}\{\frac{\partial }{\partial y}\left(z^{2}x\right)-\frac{\partial }{\partial z}\left(y^{2}z\right)\}-\hat{j}\{\frac{\partial }{\partial x}\left(z^{2}x\right)-\frac{\partial }{\partial z}\left(x^{2}y\right)\}\\ & +\hat{k}\{\frac{\partial }{\partial x}\left(y^{2}z\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(x^{2}y\right)\}\\ =& \hat{i}\{0-y^2\}-\hat{j}\{z^2-0\}+\hat{k}\{0-x^2\}\\ =& -y^2\hat{i}-z^{2}j-x^2\hat{k}\end{array}$ 

$\begin{array}{cc}\therefore \mathrm{div}(\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{C})& =\overrightarrow{\nabla }\cdot (\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{C})\\ & =(\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z})\cdot (-y^2\hat{i}-z^2\hat{j}-x^2\hat{k})\\ & =-\{\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(z^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(x^2\right)\}\\ & =-\{0+0+0\}=0\end{array}$ 

অতএব, উদ্দীপকের $\overrightarrow{C}$ ভেক্টরের কার্লের ডাইভারজেন্স শূন্য।