সৃজনশীলঃ ‘TVR নামক গ্রহকে…’ নটরডেম কলেজ ২০২৪ – মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

আমরা জানি,

ভূপৃষ্ঠ থেকে h উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g_h=\frac{\mathrm{GM}}{(R+h{)}^2}=\frac{{\mathrm{gR}}^2}{(R+h{)}^2}$

উচ্চতা ভূপৃষ্ঠের কাছাকাছি হলে, $g_h=g(1-\frac{2h}{R})$। ভূপৃষ্ঠ থেকে গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g_x=g(1-\frac{x}{R})$। উভয় ক্ষেত্রে g এর মান সমান হলে,

$g_h=g_x$
বা, $g(1-\frac{2h}{R})=g(1-\frac{x}{R})$
বা, $1-\frac{2h}{R}=1-\frac{x}{R}$
বা, $\frac{2h}{R}=\frac{x}{R}$
বা, $x=2h$
ইহাই নির্ণেয় x ও h এর মধ্যে সম্পর্ক।

উপগ্রহটির পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ g হলে, মুক্তিবেগ,

এখানে, উপগ্রহের ব্যাসার্ধ,
$R=3200\mathrm{km}$
$=3.2\times {10}^{6}m$
মুক্তিবেগ, $v_e=3.6{\mathrm{kms}}^{-1}$
$=3.6\times {10}^3{\mathrm{ms}}^{-1}$
$v_e=\sqrt{2gR}$

বা, $v_e^2=2gR$

বা, $g=\frac{v_e^2}{2R}=\frac{{(3.6\times {10}^3)}^2}{2\times 3.2\times {10}^6}$

$\therefore g=2.025{\mathrm{ms}}^{-2}$

উপগ্রহটির ঘনত্ব $\rho$ হলে,
$g=\frac{4}{3}\pi \rho \text{ GR }$
বা, $\rho =\frac{3g}{4\pi \mathrm{GR}}=\frac{3\times 2.025}{4\pi \times 6.673\times {10}^{-11}\times 3.2\times {10}^6}$
$\therefore \rho =2263.94{\mathrm{kgm}}^{-3}$
অতএব উপগ্রহটির ঘনত্ব $2263.94{\mathrm{kgm}}^{-3}$।

গ্রহটির ব্যাসার্ধ R হলে,
গ্রহের পৃষ্ঠে মুক্তিবেগ, $v_{eT}=\sqrt{\frac{2\mathrm{GM}}{R}}[M=$ গ্রহের ভর]

আবার, উপগ্রহটির উচ্চতা $h$ হলে, এর বেগ $v=\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{R+h}}$

শর্তমতে, $v=\frac{1}{2}{V}_{\text{eT }}$
বা, $\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{R+h}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\mathrm{GM}}{R}}$
বা, $\frac{\mathrm{GM}}{R+h}=\frac{1}{4}\cdot \frac{2\mathrm{GM}}{R}$
বা, $\frac{1}{R+h}=\frac{1}{2R}$

বা, $R+h=2R$
$\therefore h=R$

এখানে,
গ্রহের পৃষ্ঠে, $g=7.8{\mathrm{ms}}^{-2}$
পর্যায়কাল, $T=30d$
$=(30\times 24\times 60\times 60)s$
$=2.592\times {10}^{6}s$

উপগ্রহের পর্যায়কাল $T$ হলে, উচ্চতা, $h={\left(\frac{\mathrm{GMT}}{4{\pi }^2}\right)}^{\frac{1}{3}}-R$

বা, $h+R={\left(\frac{g{R}^2{T}^2}{4{\pi }^2}\right)}^{\frac{1}{3}}[\because$ গ্রহের পৃষ্ঠে $g=\frac{GM}{R^2}$ বা, $GM=g{R}^2]$

বা, $2R=R^{\frac{2}{3}}{\left(\frac{g{T}^2}{4{\pi }^2}\right)}^{\frac{1}{3}}[h=R]$
বা, $\frac{R}{R^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{2}{\left(\frac{7.8\times {(2.592\times {10}^6)}^2}{4{\pi }^2}\right)}^{\frac{1}{3}}$
বা, $R^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\times 10990.099$
বা, $R^{\frac{1}{3}}=5495.05$
বা, $R=(5495.05{)}^3$
বা, $R=1.659\times {10}^{11}m$

$\therefore$ উপগ্রহের উচ্চতা, h= গ্রহের ব্যাসার্ধ = R
গ্রহের কেন্দ্র থেকে হিসাব করলে, দূরত্ব, $r=R+R=2R$
উপগ্রহটি থেমে গেলে, বেগ, $v=0$, গতিশক্তি, $k_i=0$
উপগ্রহটির বিভব শক্তি, $U_i=\frac{\mathrm{GM}m}{r}[m=$ উপগ্রহের ভর]
গ্রহটিতে আঘাত করার পূর্বে উপগ্রহটির বিভব শক্তি, $U_r=\frac{\mathrm{GM}m}{R}$

এবং গতিশক্তি, $K_r=\frac{1}{2}m{v}^2$
$\therefore$ শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতি অনুযায়ী,
$U_i=K_i=U_g+k_g$

বা, $-\frac{\mathrm{GM}m}{r}+0=-\frac{\mathrm{GM}m}{R}+\frac{1}{2}{\mathrm{mv}}^2$
বা, $-\frac{\mathrm{GM}}{2R}+\frac{\mathrm{GM}}{R}=\frac{1}{2}{v}^2[r=2R]$
বা, $v^2=\frac{2\mathrm{GM}}{R}(1-\frac{1}{2})=\frac{\mathrm{GM}}{R}$
বা, $v^2=\frac{g{R}^2}{R}=gR$
$\therefore v=\sqrt{\mathrm{gR}}=\sqrt{7.8\times 1.659\times {10}^{11}}=1.1376\times {10}^6{\mathrm{ms}}^{-1}$
$=1137.64{\mathrm{kms}}^{-1}$
সুতরাং, বলা যায়, গ্রহটিতে আঘাত করার পূর্বে উপগহের বেগ নির্ণয় করা সম্ভব হবে যার মান $v=1137.64{\mathrm{kms}}^{-1}$ ।