সৃজনশীলঃ ‘t=xxln⁡x,y=sin⁡(msin−1x),h(x)=2×3−21×2+36x−20…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২১ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $y=\sin (m{\sin }^{-1}x)$

বা, ${\sin }^{-1}y=m{\sin }^{-1}x$

বা,$\frac{d}{dx}{\sin }^{-1}y=\frac{d}{dx}(m{\sin }^{-1}x)$

বা, $\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\cdot y_1=m\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

বা, $\frac{y_1^2}{1-y^2}=\frac{m^2}{1-x^2}[$ বর্গ করে $]$

বা, $(1-x^2)y_1^2=m^2(1-y^2)$

বা, $\frac{d}{dx}\{(1-x^2)\cdot y_1^2\}=\frac{d}{dx}\left\{m^2(1-y^2)\right\}$

বা,$(1-x^2)\frac{d}{dx}{y}_1^2+y_1^2\frac{d}{dx}(1-x^2)=m^2(0-2y\cdot y_1)$

বা,$(1-x^2)\cdot 2y_1\cdot y_2+y_1^2\cdot (-2x)=-2m^2{y}_1$

বা, $(1-x^2)y_2-x{y}_1=-m^{2}y$

$\therefore (1-x^2)y_2-x{y}_1+m^{2}y=0$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $h\left(x\right)=2x^3-21x^2+36x-20$

$\therefore h^{\prime }\left(x\right)=6x^2-42x+36$

$\therefore h^{\prime \prime }\left(x\right)=12x-42$

সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের জন্য, $h^{\prime }\left(x\right)=0$

বা,$6x^2-42x+36=0$

বা, $x^2-7x+6=0$

বা,$x^2-6x-x+6=0$

বা,$x(x-6)-1(x-6)=0$

বা,$(x-6)(x-1)=0$

হয়, $x-6=0$আবার$x-1=0$

$\therefore x=6\therefore x=1$

এখন, $x=1$ হলে, $h^{\prime \prime }\left(1\right)=12.1-42=-30<0$

$\therefore x=1$ এর জন্য $h\left(x\right)$ ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।

$\therefore$ ফাংশনটির গুরুমান, $h\left(1\right)={2.1}^3-{21.1}^2+36.1-20$

$\begin{array}{cc}& =2-21+36-20\\ & =-3\end{array}$

আবার, $x=6$ হলে, $h^{\prime \prime }\left(6\right)=12.6-42=30>0$

$\therefore x=6$ এর জন্য $h\left(x\right)$ এর লঘুমান বিদ্যমান।

$\therefore$ ফাংশनটির লঘুমান, $h\left(6\right)={2.6}^3-{21.6}^2+36.6-20$

$=432-756+216-20$

নির্ণেয় ফাংশনটির সর্বোচ্চমান -3 এবং সর্বনিম্নমান $=-128$