সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপকে: f(x) =…’ ঢাকা বোর্ড ২০২২ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+b$ এবং $f\left(x\right)=0$

অর্থাৎ $a{x}^2+bx+b=0$.................... (1) 

ধরি, সমীকরণ (1) এর মূলদ্বয় $p\alpha$ এবং $q\alpha$

বা, $-\frac{b}{a(p+q)}=\sqrt{\frac{b}{apq}}$

বা, $-\frac{b}{a}\cdot \frac{1}{p+q}=\sqrt{\frac{b}{a}}\times \frac{1}{\sqrt{pq}}$

বা, $-\frac{b}{a}\times \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{p+q}{\sqrt{pq}}$

বা, $\frac{p}{\sqrt{\mathrm{pq}}}+\frac{q}{\sqrt{\mathrm{pq}}}=-{\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)}^2\times \sqrt{\frac{a}{b}}$

বা, $\frac{(\sqrt{p}{)}^2}{\sqrt{p}\cdot \sqrt{q}}+\frac{(\sqrt{q}{)}^2}{\sqrt{p}\cdot \sqrt{q}}=-\sqrt{\frac{b}{a}}$

বা, $\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}+\frac{\sqrt{q}}{\sqrt{p}}+\sqrt{\frac{b}{a}}=0$

$\therefore \sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{b}{a}}=0$. (প্রমানিত)

এখানে, $g\left(x\right)=3x^3-26x^2+52x-24$

এবং $g\left(x\right)=0$

$\therefore 3x^3-26x^2+52x-24=0$...........................(1)

ধরি, সমীকরণ (1) এর মূলত্রয় $\frac{\alpha }{r},\alpha ,\mathrm{ar}[\because$ গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত]

$\frac{\alpha }{r}\cdot \alpha \cdot \alpha r=-\frac{-24}{3}$

${\alpha }^3=8$

বা, $\alpha =2$

আবার, $\frac{\alpha }{r}+\alpha +\alpha r=-\frac{-26}{3}$

বা, $\frac{2}{r}+2+2r=\frac{26}{3}[\alpha =2$ বসিয়ে $]$

বা, $2(\frac{1}{r}+1+r)=\frac{26}{3}$

বা, $1+\frac{1}{r}+r=\frac{13}{3}$ [2 দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\frac{1+r^2}{r}=\frac{13}{3}-1$

বা, $\frac{r^2+1}{r}=\frac{13-3}{3}=\frac{10}{3}$

বা, $3r^2+3=10r$

বা, $3r^2-10r+3=0$

বা, $3r^2-9r-r+3=0$

বা, $3r(r-3)-1(r-3)=0$

বা, $(r-3)(3r-1)=0$

হয়, r-3 = 0

বা, $r=3$

অথবা, $3r-1=0$

বা, $r=\frac{1}{3}$

এখন, $r=3$ হলে মূলত্রয় $\frac{\alpha }{r}=\frac{2}{3};\alpha =2$

এবং $\alpha r=2\times 3=6$

আবার, $r=\frac{1}{3}$ হলে মূলত্রয় $\frac{\alpha }{r}=\frac{2}{\frac{1}{3}}=2\times 3=6$,

$\alpha =2,\alpha r=2\times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

সুতরাং, সমীকরণ (1) এর মূলগুলি $\frac{2}{3},2,6$.