সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপকে: z =…’ ঢাকা বোর্ড ২০২২ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $z=x+iy\therefore \overline{z}=x-iy$

$\begin{array}{cc}& \sqrt[3]{p+iq}=z\\ \Rightarrow & (p+iq{)}^{1/3}=x+iy\\ \Rightarrow & {\left\{\right(p+iq{)}^{1/3}\}}^3=(x+iy{)}^3\\ \Rightarrow & p+iq=x^3+3x^2\cdot iy+3x\cdot (iy{)}^2+(iy{)}^3\\ \Rightarrow & p+iq=x^3+3x^{2}yi-3x{y}^2-i{y}^3[\because i^2=-1]\\ \Rightarrow & p+iq=(x^3-3x{y}^2)+i(3x^{2}y-y^3)\end{array}$

উভয় পক্ষ হতে,

বাস্তব ও কাল্পনিক অংশের সহগ সমীকৃত করে পাই,

এবংএখनদেখানোহলো$\begin{array}{cc}& p=x^3-3x{y}^2\text{ এবং }q=3x^{2}y-y^3\\ & \text{ এখन, }p-iq=x^3-3x{y}^2-i(3x^{2}y-y^3)\\ & =x^3-3x{y}^2-3x^{2}yi+i{y}^3\\ & =x^3-3x^2\cdot iy+3x\cdot i^2{y}^2-(iy{)}^3\\ & =(x-iy{)}^3\\ & \Rightarrow \sqrt[3]{p-iq}=x-iy\\ & \therefore \sqrt[3]{p-iq}=\overline{Z}\text{ (দেখানো হলো })\end{array}$

দেওয়া আছে, $z=x+iy$

$\begin{array}{cc}& 3|z-1|=2|z-2|\\ \Rightarrow & 3|x+iy-1|=2|x+iy-2|\\ \Rightarrow & 3|(x-1)+iy|=2|(x-2)+iy|\\ \Rightarrow & 3\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=2\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}[:|z|=\sqrt{x^2+y^2}]\\ \Rightarrow & 9(x^2-2x+1+y^2)=4(x^2-4x+4+y^2)\\ \Rightarrow & 9x^2-18x+9+9y^2=4x^2-16x+16+4y^2\\ \Rightarrow & 5x^2+5y^2-2x-7=0\\ \Rightarrow & 5(x^2+y^2)-2x-7=0\\ \Rightarrow & x^2+y^2-\frac{2}{5}x-\frac{7}{5}=0\\ \therefore & x^2+y^2-2\cdot \frac{1}{5}\cdot x-\frac{7}{5}=0\end{array}$

এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ।

নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ, $x^2+y^2-2\cdot \frac{1}{5}\cdot x-\frac{7}{5}=0$