সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক: (−1,1),(3,4) হলো…’ সিলেট এমসি কলেজ ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$25x^2+16y^2+50x-64y-311=0$

বা, $25x^2+50x+25+16y^2-64y+64=311+25+64$

বা, $25(x^2+2.x.1+1^2)+16(y^2-2.y.2+2^2)=400$

বা, $25(x+1{)}^2+16(y-2{)}^2=400$

বা, $\frac{25(x+1{)}^2}{400}+\frac{16(y-2{)}^2}{400}=1$

বা, $\frac{(x+1{)}^2}{16}+\frac{(y-2{)}^2}{25}=1$

বা, $\frac{(x+1{)}^2}{4^2}+\frac{(y-2{)}^2}{5^2}=1$

বা, $\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1$; যা উপবৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করে। যেখানে, $X=x+1$

$Y=y-2$

$a=4$

এবং $b=5$

$\therefore a<b$

উৎকন্দিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$

$\therefore$ উপকেন্দিক লম্বের সমীকরণ,

$y=\pm be[\because a<b]$

বা, $y=\pm 5\times \frac{3}{5}$

$\therefore y=\pm 3$

নির্ণেয় উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ $y=\pm 3$.

ধরি, পরাবৃত্তের উপরস্থ P(x, y) যেকোনো একটি চলমান বিন্দু। ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র S(-1, 1), শীর্ষ বিন্দু A(3, 4) এবং দিকাক্ষরেখা MZM'। অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের ছেদবিন্দু $Z(\alpha ,\beta )$

যেহেতু ZS এর মধ্যবিন্দু A 

$\therefore 3=\frac{\alpha +(-1)}{2}$

বা, $6=\alpha -1$

$\therefore \alpha =7$

এবং $4=\frac{\beta +1}{2}$

বা, $\beta +1=8$

$\therefore \beta =7$

$\therefore Z$ এর স্পানাঙ্ক $\equiv (\alpha ,\beta )\equiv (7,7)$

শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্র দিয়ে অতিক্রান্ত রেখাই অক্ষরেখা।

$\therefore$ অক্ষরেখার সমীকরণ,

$\frac{x-3}{3-(-1)}=\frac{y-4}{4-1}$

বা, $\frac{x-3}{3+1}=\frac{y-4}{3}$

বা, $\frac{x-3}{4}=\frac{y-4}{3}$

বা, $3x-9=4y-16$

বা, $3x-4y+7=0$

যেহেতু দিকাক্ষ অক্ষরেখার উপর লম্ব, সেহেতু দিকাক্ষের সমীকরণ,

$4x+3y+k=0$ ......... (i)

(i) নং রেখাটি $Z(7,7)$ বিন্দুগামী।

$\therefore 4\times 7+3\times 7+k=0$

বা, $28+21+k=0$

বা, $k=-49$

সমীকরণ (i)নং এ k-এর মান বসিয়ে পাई,

$4x+3y-49=0$

$S,P$ যোগ করি এবং P বিন্দু হতে দিকাক্ষের উপর PM লंম্ব টানি ।

পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,

$\mathrm{SP}=\mathrm{PM}$

বা, $\sqrt{(x+1{)}^2+(y-1{)}^2}=\left|\frac{4x+3y-49}{\sqrt{4^2+3^2}}\right|$

বা, $(x^2+2x+1+y^2-2y+1)=\frac{(4x+3y-49{)}^2}{25}$ [বর্গ করে]

বা, $25x^2+25y^2+50x-50y+50=16x^2+9y^2+2401$

$+24xy-392x-294y$

বা, $25x^2+25y^2+50x-50y+50-16x^2-9y^2-24xy$

$+392x+294y-2401=0$

বা, $9x^2+16y^2+442x+244y-24xy-2351=0$

$\therefore 9x^2-24xy+16y^2+442x+244y-2351=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ $9x^2-24xy+16y^2+442x+244y-2351=0$.