সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১ : 3×2…’ ঢাকা বোর্ড ২০২২ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপক-১ হতে,

যেখানে$\begin{array}{cc}& 3x^2-4y-6x-5=0\\ & \Rightarrow 3\cdot (x^2-2x)=4y+5\\ & \Rightarrow 3(x^2-2\cdot x\cdot 1+1)=4y+5+3\\ & \Rightarrow 3(x-1{)}^2=4y+8\\ & \Rightarrow (x-1{)}^2=\frac{4}{3}(y+2)\\ & \Rightarrow (x-1{)}^2=4\cdot \frac{1}{3}(y+2)\\ & \therefore X^2=4.a.Y\\ & \text{ যেখানে, }X=x-1\\ & Y=y+2\\ & a=\frac{1}{3}\end{array}$

পরাবৃত্তেরশীর্ষবিন্দু$\begin{array}{cc}\therefore \text{ পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু }(x,y)=(0,0)& Y=0\\ \therefore X=0;& Yy+2=0\\ \Rightarrow x-1=0& \Rightarrow y=1\\ \therefore x=1& \therefore y=-2\end{array}$

$\therefore$ নির্ণেয় পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু $(1,-2)$

$\therefore$ পরাবৃত্তের স্থানাঙ্ক $(0,a)$

$\therefore X=0y=a$

$\Rightarrow x-1=0\Rightarrow y+2=\frac{1}{3}$

$\therefore x=1\Rightarrow y=\frac{1}{3}-2=\frac{-5}{3}$

$\therefore$ নির্ণেয় পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র $(1,-5/3)$

$\therefore$ অক্ষরেখার সমীকরণ, $X=0$

$\begin{array}{cc}& \Rightarrow x-1=0\\ & \Rightarrow x=1\end{array}$

উদ্দীপক-২ এর চিত্র হতে পাই,

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র, $S(0,2)$

পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, $A(3,2)$

ধরি,

পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখা এবং অক্ষরেখার ছেদবিন্দু $Z(\alpha ,\beta )$।

আমরা জানি,

শীর্ষবিন্দু $A$ হলো উপকেন্দ্র $S$ এবং নিয়ামকের পাদবিন্দু $Z$ এর মধ্যবিন্দু।

$\therefore A(3,2)=(\frac{0+\alpha }{2},\frac{2+\beta }{2})$

স্থানাঙ্ক সমীকৃত করে পাই,

$\frac{0+\alpha }{2}=3\Rightarrow \alpha =6$

$\frac{2+\beta }{2}=2\Rightarrow 2+\beta =4\Rightarrow \beta =2$

$\therefore Z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(6,2)$।

যেহেতু $S(0,2)$ এবং $A(3,2)$ বিন্দুদ্বয়ের কোটি একই ($y=2$), তাই পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা অনুভূমিক এবং এর সমীকরণ $y=2$।

পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখা অক্ষরেখার উপর লম্ব হয়। সুতরাং নিয়ামক রেখাটি উলম্ব হবে এবং এটি $Z(6,2)$ বিন্দুগামী।

$\therefore$ নিয়ামক রেখার সমীকরণ: $x=6\Rightarrow x-6=0$।

এখন ধরি, পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো একটি চলমান বিন্দু $P(x,y)$ এবং $P$ বিন্দু হতে নিয়ামক রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব দূরত্ব $PM$।

পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে আমরা জানি, $SP=PM$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$S{P}^2=P{M}^2$

$\Rightarrow (x-0{)}^2+(y-2{)}^2={\left(\frac{|x-6|}{\sqrt{1^2+0^2}}\right)}^2$

$\Rightarrow x^2+(y-2{)}^2=(x-6{)}^2$

$\Rightarrow x^2+y^2-4y+4=x^2-12x+36$

উভয়পক্ষ থেকে $x^2$ বাদ দিয়ে পাই,

$\Rightarrow y^2-4y+4=-12x+36$

$\Rightarrow y^2-4y+12x+4-36=0$

$\therefore y^2-4y+12x-32=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ: $y^2-4y+12x-32=0$।