সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১: 4×2+6y2−4x−36y+43=0উদ্দীপক-২: একটি…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২২ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $4x^2+6y^2-4x-36y+43=0$

বা, $4x^2+6y^2-4x-36y=-43$

বা, $4(x^2-x)+6(y^2-6y)=-43$

বা, $4(x^2-2\cdot x\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{4})+6(y^2-2\cdot y\cdot 3+9)=-43+1+54$

বা, $4{(x-\frac{1}{2})}^2+6(y-3{)}^2=12$

বা, $\frac{{(x-\frac{1}{2})}^2}{3}+\frac{(y-3{)}^2}{2}=1$

বা, $\frac{{(x-\frac{1}{2})}^2}{(\sqrt{3}{)}^2}+\frac{(y-3{)}^2}{(\sqrt{2}{)}^2}=1$

যা প্রমিত আকারে প্রকাশিত উপবৃত্তের সমীকরণ।

বা, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

এখানে, $X=x-\frac{1}{2},Y=y-3$

$a=\sqrt{3}$ এবং $b=\sqrt{2}$

$\therefore a>b$

$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{3-2}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}<1$

$\therefore$ নিয়ামক রেখার সমীকরণ, $X=\pm \frac{a}{e}$

বা, $x-\frac{1}{2}=\pm \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\pm 3$

$\therefore x=\pm 3+\frac{1}{2}$

(+) চিহ্ন নিয়ে,

$x=3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$

বা, $2x-7=0$

(-) চিহ্ন নিয়ে,

$x=-3+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$

বা, $2x+5=0$

নির্ণেয় নিয়ামকরেখার সমীকরণ, $2x-7=0,2x+5=0$.

দেওয়া আছে, কনিকটির উপকেন্দ্রদ্বয় $(0,5)$ ও $(8,3)$

এবং উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{2}>1$

$\therefore$ কনিকটি একটি অধিবৃত্ত $[e>1]$

$\therefore$ কনিকটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(\frac{10+8}{2},\frac{5+3}{2})=(9,4)$

উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব,

2ae $=\sqrt{(10-8{)}^2+(5-3{)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}$

বা, $2\cdot a\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}$

$\therefore a=1$

অধিবৃত্তটির বৃহদাক্ষের ঢাল $=\frac{5-3}{10-8}=\frac{2}{2}=1$

যেহেতু বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষ পরস্পর লম্ব

সেহেতু ক্ষুদ্রাক্ষের ঢাল = -1 এবং এটি $(9,4)$ বিন্দুগামী।

$\therefore$ ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ, $y-4=-1(x-9)$

বা, $y-4=-x+9$

বা, $x+y-4-9=0$

$\therefore x+y-13=0...........\left(1\right)$

(1) নং রেখা থেকে নিয়ামক রেখার দূরত্ব $=\frac{a}{e}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

নিয়ামক রেখা ক্ষুদ্রাক্ষের সমান্তরাল এবং কেন্দ্র থেকে নিয়ামকের দূরত্ব $\frac{1}{\sqrt{2}}$ একক।

ধরি, নিয়ামক রেখার সমীকরণ,

$x+y+k=0...........\left(2\right)$

শর্তমতে,

$\frac{|9+4+k|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\frac{|k+13|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $|k+13|=1$

বা, $k+13=\pm 1$

$\therefore k=-12,-14$

$k=-12$ হলে, নিয়ামকরেখা $x+y-12=0$

$k=-14$ হলে, নিয়ামকরেখা $x+y-14=0$

উপকেন্দ্র $(8,3)$ হলে অনুরূপ নিয়ামক রেখা,

$x+y-12=0$

$\therefore$ অধিবৃত্তের সমীকরণ,

$(x-8{)}^2+(y-3{)}^2=(\sqrt{2}{)}^2\cdot \frac{(x+y-12{)}^2}{1^2+1^2}$

বা, $(x-8{)}^2+(y-3{)}^2=(x+y-12{)}^2$

বা, $x^2-16x+64+y^2-6y+9=x^2+y^2+144+2xy-24x-24y$

$\therefore 2xy-8x-18y+71=0$

নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ $2xy-8x-18y+71=0$.