সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১: 9×2−4y2+36x−8y−4=0 একটি…’ বরিশাল বোর্ড ২০২২ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপক-১ হতে পাই,

$9x^2-4y^2+36x-8y-4=0$

বা, $9(x^2+4x)-4(y^2+2y)=4$

বা, $9(x^2+2\cdot x\cdot 2+2^2-4)-4(y^2+2\cdot y\cdot 1+1^2-1)=4$

বা, $9(x+2{)}^2-36-4(y+1{)}^2+4=4$

বা, $9(x+2{)}^2-4(y+1{)}^2=36$

বা, $\frac{9(x+2{)}^2}{36}-\frac{4(y+1{)}^2}{36}=1$

বা, $\frac{(x+2{)}^2}{4}-\frac{(y+1{)}^2}{9}=1$

বা, $\frac{X^2}{2^2}-\frac{Y^2}{3^2}=1$ [যেখানে $X=x+2,Y=y+1$ ]

উক্ত কণিকটি একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ যেখানে $a=2$ এবং $b=3$

$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{13}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$

এখানে, অধিবৃত্তির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(\pm \mathrm{ae},0)$

অর্থাৎ, $X=\pm \mathrm{ae}$

বা, $x+2=\pm 2\times \frac{\sqrt{13}}{2}$

বা, $x+2=\pm \sqrt{13}$

$\therefore x=\pm \sqrt{13}-2$

এবং $Y=0$

বা, $y+1=0$

$\therefore y=–1$

নির্ণেয় উপকেন্দের স্থানাঙ্ক, $(\pm \sqrt{13}-2,-1)$.

উদ্দীপক-২ হতে পাই,

উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{1}{\sqrt{2}}<1$ .......... (1)

অর্থাৎ, কণিকটি একটি উপবৃত্ত।

ধরি, উপবৃত্তটির সমীকরণ, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

(1) নং উপবৃত্তটি $(4,-2\sqrt{6})$ বিন্দুগামী

$\therefore \frac{4^2}{a^2}+\frac{(-2\sqrt{6}{)}^2}{b^2}=1$

বা, $\frac{16}{a^2}+\frac{24}{b^2}=1$ ........ (2)

আবার, $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

বা, ${\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2=1-\frac{b^2}{a^2}$

বা, $\frac{b^2}{a^2}=1-\frac{1}{2}$

বা, $\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{2}$

$\therefore a^2=2b^2$

এখন, (ii)নং হতে পাই, $\frac{16}{2b^2}+\frac{24}{b^2}=1$

বা, $\frac{8}{b^2}+\frac{24}{b^2}=1$

বা, $\frac{32}{b^2}=1$

বা, $b^2=32$

$\therefore a^2=2\times 32=64$

(1) নং সমীকরণে ও$a^2ওb^2$ এর মান বসিয়ে পাই, $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{32}=1$

নির্ণয় কনিকাত সমীকরণ $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{32}=1$