সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১ : AB…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২২ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

মনেকরি, AB রেখার সমীকরণ,

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\dots \dots \dots \dots \left(i\right)$

$△OAB$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}ab$

$\frac{1}{2}ab=\frac{32}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow ab=\frac{64}{\sqrt{3}}\dots \dots .....\left(\mathrm{ii}\right)$

$\Rightarrow AOP={60}^{\circ }={30}^{\circ }$

$\therefore \angle OAP=\angle OAB={90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }.$

এখন, $\tan {30}^{\circ }=\frac{OB}{O{A}^{\circ }}=\frac{b}{a}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{b}{a}$

$\Rightarrow a=\sqrt{3}b$

(ii) নং এ a এর মান বসিয়ে পাই,

$b\sqrt{3}=\frac{69}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow b^2=\frac{64}{3}$

$\Rightarrow b=\pm \frac{8}{\sqrt{3}}$

$b=\frac{8}{\sqrt{3}}$ [যেহ্তে ১ম চতুভাগে]

(ii) নং হতে পাই,

$ab=\frac{64}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow a=\frac{64}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{8}$

$=8$

(1) নং সমীকরণে a ও b এর মান বসিয়ে,

$\frac{x}{8}+\frac{y}{\frac{8}{\sqrt{3}}}=1$

$\Rightarrow \frac{x}{8}+\frac{y\sqrt{3}}{8}=-1$

$\Rightarrow x+\sqrt{3}y=8$

ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।

দেওয়া আছে,

$x^2+y^2+4x+4y+1=0$

এবং $x^2+y^2+4x+3y+2=0$

বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ,

 (i) - (ii)

$\therefore y-1=0...........\left(iii\right)$(i) নং বৃত্ত ও (iii) নং জ্যা এর ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,

$x^2+y^2+4x+1+k(y-1)=0-\text{ (iv) }$

$\Rightarrow x^2+y^2+2\cdot 2x+2\cdot \frac{1}{2}(4+k)y+1-k=0$

$\therefore$ বৃত্তটি কেন্দ্র $(-2,\frac{-4-k}{2})$

(iv) নং বৃত্তের কেন্দ্র $(-2,\frac{-4-k}{2})$বিন্দুটি জ্যা এর উপর অবস্থিত।

$\therefore \frac{-4-k}{2}-1=0$

$\Rightarrow 4+k+2=0$

$\Rightarrow k=-6$

k এর মান (iv) নং এ বসিয়ে,

$x^2+y^2+4x+4y+1-6(y-1)=0$

$\Rightarrow x^2+y^2+4x+4y+1-6y+6=0$

$\Rightarrow x^2+y^2+4x-2y+7=0$

ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।