সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১, A+B+C=πউদ্দীপক-2 :…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$△ABC$ হতে পাই,

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

$\Rightarrow \frac{\sin C}{\sin A}=\frac{c}{a}$

$\Rightarrow \frac{\sin C-\sin A}{\sin C+\sin A}=\frac{c-a}{c+a}$

$\Rightarrow \frac{2\cos \frac{C+A}{2}\sin \frac{C-A}{2}}{2\sin \frac{C+A}{2}\cdot \sin \cos \frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}$

$\Rightarrow \tan \frac{c-A}{2}=\frac{c-a}{c+a}\tan \frac{c+A}{2}$

$\Rightarrow \tan \frac{C-A}{2}=\frac{C-a}{C+a}\tan (\frac{\pi }{2}-\frac{B}{2})$

$\therefore \tan \frac{c-A}{2}=\frac{c-a}{c+a}\cot \frac{B}{2}$ (প্রমাণিত)

উদ্দীপক-১ হতে পাই, $A+B+C=\pi$

$\therefore$ L.H.S $={\sin }^2\frac{A}{2}+{\sin }^2\frac{B}{2}+{\sin }^2\frac{C}{2}$

$=\frac{1}{2}(2{\sin }^2\frac{A}{2}+2{\sin }^2\frac{B}{2})+{\sin }^2\frac{C}{2}$

$=\frac{1}{2}(1-\cos A+1-\cos B)+{\sin }^2\frac{C}{2}$

$=\frac{1}{2}\{2-(\cos A+\cos B\left)\right\}+{\sin }^2\frac{C}{2}$

$=\frac{1}{2}\times 2-\frac{1}{2}\times 2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}+{\sin }^2\frac{C}{2}$

$=1-\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2})\cos \frac{A-B}{2}+{\sin }^2\frac{C}{2}$

$=1-\sin \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2}+{\sin }^2\frac{C}{2}$

$=1-\sin \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2}-\sin \frac{C}{2})$

$=1-\sin \frac{C}{2}\{\sin (\frac{A}{2}-\frac{A+B}{2})-\cos \frac{A-B}{2}\}$

$=1-\sin \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2}-\cos \frac{A-B}{2})$

$=1-\sin \frac{C}{2}\{\cos (\frac{A}{2}-\frac{B}{2})-\cos (\frac{A}{2}+\frac{B}{2})\}$

$=1-\sin \frac{C}{2}\cdot 2\cos \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}$

$=1-2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$