সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১:cos−1⁡P+cos−1⁡Q=θ;উদ্দীপক-২:f(x)=cos⁡x…’ আইডিয়াল স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৬ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, ${\cos }^{-1}P+{\cos }^{-1}Q=\theta$
বা, ${\cos }^{-1}\{\mathrm{PQ}-\sqrt{(1-P^2)(1-Q^2)}\}=\theta$
বা, $PQ-\sqrt{(1-P^2)(1-Q^2)}=\cos \theta$
বা, $(PQ-\cos \theta {)}^2=(1-P^2)(1-Q^2)$
বা, $P^2{Q}^2-2PQ\cos \theta +{\cos }^2\theta =1-P^2-Q^2+P^2{Q}^2$
বা, $P^2-2PQ\cos \theta +Q^2=1-{\cos }^2\theta$
$\therefore P^2-2PQ\cos \theta +Q^2={\sin }^2\theta$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\cos x$
প্রদত্ত সমীকরণ,

$\sqrt{3}f\left(x\right)+\sqrt{1-\left(f\right(x){)}^2}=1$

বা, $\sqrt{3}\cos x+\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=1$
বা, $\sqrt{3}\cos x+\sin x=1$
$\cos x$ ও $\sin x$ এর সহগের বর্গের সমষ্টির বর্গমূলের মান

$=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=\sqrt{4}=2$

2 দ্বারা ভাগ করে পাই, $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=\frac{1}{2}$
বা, $\cos \frac{\pi }{6}\cos x+\sin \frac{\pi }{6}\sin x=\cos \frac{\pi }{3}$
বা, $\cos (x-\frac{\pi }{6})=\cos \frac{\pi }{3}$
বা, $x-\frac{\pi }{6}=2n\pi \pm \frac{\pi }{3}$
বা, $x=2n\pi \pm \frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$.
সীমা: $-2\pi <x<2\pi$

যখন, $n=0$ তখন $x=\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{6}$

$n=1$ তখন $x=\frac{11\pi }{6},\frac{5\pi }{2}$
$n=-1$ তখন $x=-\frac{13\pi }{6},-\frac{3\pi }{2}$
$-2\pi <x<2\pi$ ব্যবধিতে $x=-\frac{3\pi }{2},-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2},\frac{11\pi }{6}$

নির্ণেয় সমাধান : $x=-\frac{3\pi }{2},-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2},\frac{11\pi }{6}$.