সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১: cos⁡x=pa,cos⁡y=qbউদ্দীপক-২ :…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৩ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপক-১ হতে,

$\cos x=\frac{p}{a},\cos y=\frac{q}{b}$

$\Rightarrow x={\cos }^{-1}\frac{p}{a}$

$\Rightarrow y={\cos }^{-1}\frac{q}{b}$

প্রশ্নমতে, $x+y=\alpha$

$\Rightarrow {\cos }^{-1}\frac{p}{a}+{\cos }^{-1}\frac{q}{b}=\alpha$

$\Rightarrow {\cos }^{-1}[\frac{p}{a}\cdot \frac{q}{b}-\sqrt{\{1-{\left(\frac{p}{a}\right)}^2\}\{1-{\left(\frac{q}{b}\right)}^2\}}=\alpha$

$\Rightarrow \frac{p}{a}\cdot \frac{q}{b}-\sqrt{(1-\frac{p^2}{a^2})(1-\frac{q^2}{b^2})}=\cos \alpha$

$\Rightarrow \sqrt{(1-\frac{p^2}{a^2})(1-\frac{q^2}{b^2})}=\frac{pq}{a^b}-\cos \alpha$

$\Rightarrow (1-\frac{p^2}{a^2})(1-\frac{q^2}{b^2})=\frac{p^2{q}^2}{a^2{b}^2}-2\frac{pq}{ab}\cos \alpha +{\cos }^2\alpha$

$\Rightarrow 1-\frac{p^2}{a^2}-\frac{q^2}{b^2}+\frac{p^2{q}^2}{a^2{b}^2}=\frac{p^2{q}^2}{a^2{b}^2}-2\frac{pq}{ab}{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$

$\Rightarrow \frac{p^2}{a^2}+\frac{q^2}{b^2}-2\frac{pq}{a^b}\cos \alpha =1^2-{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha$

$\Rightarrow b^2{p}^2-2abpq\cos \alpha +a^2{q}^2=a^2{b}^2{\sin }^2\alpha$ (প্রমাণিত)

উদ্দীপক-২ হতে,

$f\left(\theta \right)=\sin \theta$

$\therefore f\left(x\right)=\sin x$

$\therefore f\left(x\right)-\sqrt{1-\left\{f\right(x){\}}^2}=1$

$\Rightarrow \sin x-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=1$

$\Rightarrow \sin x-\cos x=1$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \sin x\cos \frac{\pi }{4}-\cos x\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

[$\sqrt{1^2+1^2}$$=\sqrt{2}$ দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করে ]

$\Rightarrow \sin (x-\frac{\pi }{4})=\sin \frac{\pi }{4}$

$\Rightarrow x-\frac{\pi }{4}=n\pi +(-1{)}^n\frac{\pi }{4}$

$\therefore x=n\pi +(-1{)}^n\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4},n\in z$

$\therefore n=0$ হলে, $x=\frac{\pi }{2}$

$\therefore x=1$ হলে, $x=\pi -\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=\pi$

$x=-1$ হলে, $x=-\pi -\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=-\pi$

$x=-2$ হলে, $x=-2\pi +\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{2}$

প্রদত্ত সমীর মাঝে $x$ এর মান সমূহ : $\frac{\pi }{2},\pm \pi ,-\frac{3\pi }{2}$