সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১ : একটি…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২২ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপক-১ হতে পাই, উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{\sqrt{13}}{3}>1$।

যেহেতু উৎকেন্দ্রিকতা $1$ অপেক্ষা বৃহত্তর, তাই কণিকটি একটি অধিবৃত্ত (Hyperbola)।

ধরি,

অধিবৃত্তটির সমীকরণ: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\dots \dots \left(i\right)$

আমরা জানি,

উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$

শর্তমতে, $\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{13}}{3}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$\Rightarrow 1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{13}{9}$

$\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=\frac{13}{9}-1$

$\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=\frac{4}{9}$

$\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{2}{3}$

$\therefore a=\frac{3b}{2}\dots \dots \left(ii\right)$

আবার, $\left(i\right)$ নং অধিবৃত্তটি $(4,\frac{\sqrt{28}}{3})$ বিন্দুগামী।

$\therefore \frac{(4{)}^2}{a^2}-\frac{{\left(\frac{\sqrt{28}}{3}\right)}^2}{b^2}=1$

$\Rightarrow \frac{16}{{\left(\frac{3b}{2}\right)}^2}-\frac{\frac{28}{9}}{b^2}=1[$ সমীকরণ $\left(ii\right)$ হতে $a$ এর মান বসিয়ে $]$

$\Rightarrow \frac{16}{\frac{9b^2}{4}}-\frac{28}{9b^2}=1$

$\Rightarrow \frac{64}{9b^2}-\frac{28}{9b^2}=1$

$\Rightarrow \frac{36}{9b^2}=1$

$\Rightarrow 9b^2=36$

$\Rightarrow b^2=4$

$\therefore b=2[$ দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না $]$

সমীকরণ $\left(ii\right)$ হতে পাই, $a=\frac{3\times 2}{2}=3$

সুতরাং, অধিবৃত্তটির আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য (Transverse axis) $=2a=2\times 3=6$ একক।

এবং অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য (Conjugate axis) $=2b=2\times 2=4$ একক।

নির্ণেয় আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য $6$ একক এবং অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য $4$ একক।

উদ্দীপক-২ হতে পাই,

$x^2+2y^2-12x+28=0$

$\Rightarrow x^2-12x+36+2y^2-36+28=0[$ বর্গ পূর্ণ করার জন্য $+36-36$ নেওয়া হয়েছে $]$

$\Rightarrow (x-6{)}^2+2y^2-8=0$

$\Rightarrow (x-6{)}^2+2y^2=8$

$\Rightarrow \frac{(x-6{)}^2}{8}+\frac{2y^2}{8}=1[$ উভয়পক্ষকে $8$ দ্বারা ভাগ করে $]$

$\Rightarrow \frac{(x-6{)}^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\dots \dots \left(i\right)$

সমীকরণ $\left(i\right)$ কে উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ $\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$X=x-6,Y=y$

$a^2=8\Rightarrow a=2\sqrt{2}$

$b^2=4\Rightarrow b=2$

যেহেতু $a>b$, তাই বৃহৎ অক্ষ $X$-অক্ষ বরাবর অবস্থিত।

উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{4}{8}}=\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয়:

আমরা জানি,

$a>b$ হলে উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(X,Y)=(\pm ae,0)$

$\Rightarrow X=\pm ae$

$\Rightarrow x-6=\pm 2\sqrt{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow x-6=\pm 2$

(+) চিহ্ন নিয়ে পাই: $x-6=2\Rightarrow x=8$

(-) চিহ্ন নিয়ে পাই: $x-6=-2\Rightarrow x=4$

আবার, $Y=0\Rightarrow y=0$

$\therefore$ উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক: $(8,0)$ এবং $(4,0)$

নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয়:

আমরা জানি,

$a>b$ হলে নিয়ামক রেখার সমীকরণ $X=\pm \frac{a}{e}$

$\Rightarrow x-6=\pm \frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$\Rightarrow x-6=\pm (2\sqrt{2}\times \sqrt{2})$

$\Rightarrow x-6=\pm 4$

(+) চিহ্ন নিয়ে পাই: $x-6=4\Rightarrow x=10$

(-) চিহ্ন নিয়ে পাই: $x-6=-4\Rightarrow x=2$

$\therefore$ নিয়ামক রেখার সমীকরণ: $x=10$ এবং $x=2$

নির্ণেয় উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক: $(8,0),(4,0)$ এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ: $x=10,x=2$