সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১ : একটি…’ যশোর বোর্ড ২০২২ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

আমরা জানি, $(\alpha ,\beta )$ শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট এবং অক্ষরেখা y অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ, $(x-\alpha {)}^2=4a(y-\beta )$

এখানে, শীর্ষবিন্দু (5.3)

সুতরাং পরাবৃত্তটির সমীকরণ হরে.

$(x-5{)}^2=4a(y-3)$

(1) নং সমীকরণ $(7,2)$ বিন্দুগামী,

$\therefore (7-5{)}^2=4a(2-3)$

বা, $(2{)}^2=4$. a. $(-1)$

বা, $4=-4a$

$\therefore a=-1$ (1) নং সমীকরণ $a=-1$. বসিয়ে পাই,

$(x-5{)}^2=4\cdot (-1\left)\right(y-3)$

বা, $x^2-10x+25=-4y+12$

বা, $x^2-10x+4y+25-12=0$

$\therefore x^2-10x+4y+13=0$ যা নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

এখানে, উপকেন্দ্র $S\equiv (-2,3)$,

উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{1}{\sqrt{3}}$ এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ, $2x+y-3=0$

ধরি, $P(x,y)$ উপবৃত্তের উপরস্থ একটি বিন্দু।

উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসার, SP = e. PM

বা, $\sqrt{(x+2{)}^2+(y-3{)}^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{|2x+y-3|}{\sqrt{2^2+1^2}}$,

বা, $(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=\frac{1}{3}\frac{(2x+y-3{)}^2}{(4+1)}[$ বর্গ করে ]

বা, $x^2+4x+4+y^2-6y+9=\frac{1}{15}(4x^2+y^2+9+2\cdot 2xy-2\cdot y\cdot 3-2\cdot 2x\cdot 3)$

বা, $15x^2+60x+60+15y^2-90y+135=4x^2+y^2+9+4xy-6y-12x$

বা, $15x^2+60x+15y^2-90y+195-4x^2-y^2-4xy+6y+12x-9=0$

$\therefore 11x^2+14y^2-4\mathrm{xy}+72x-84y+186=0$.

নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ, $11x^2+14y^2-4xy+72x-84y+186=0$.