সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১: একটি পরাবৃত্তের…’ বরিশাল বোর্ড ২০২২ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপক-১ হতে পাই,

পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্র $S(2,-3)$, শীর্যাবন্দু $A(-1,1)$ এবং সঞ্চরেখা AS বা SZ.

নিয়ামকরেখা MZM' এবং ধরি Z বিন্দু স্থানাঙ্ক $(\alpha ,\beta )$

এখন, অক্ষরেখা SZ বা AS এর সমীকরণ, $\frac{y-1}{1+3}=\frac{x+1}{-1-2}$

বা, $-3y+3=4x+4$ ............. (1)

বা, $4x+3y+1=0$

নিয়ামক রেখা অক্ষ রেখার উপর লম্ব বলে. মিয়ামক রেখার সমীকরণ,

$3x-4y+k=0$ ......... (2)

আবার, যেহেতু SZ এর মধ্যবিন্দু A

$\therefore \frac{\alpha +2}{2}=-1$ এবং $\frac{\beta -3}{2}=1$

বা, $\alpha +2=-2$ বা, $\beta -3=2$

$\therefore \alpha =-4$$\therefore \beta =5$

$\therefore Z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-4,5)$.

(2) নং রেখা $Z(-4,5)$ বিন্দুগামী,

$\therefore 3(-4)-4.5+k=0$

বা, $-12-20+k=0$

$\therefore k=32$

k-এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$3x-4y+32=0$

নির্ণয় নিয়ামক রেখার সমীকরণ, $3x-4y+32=0$.

উদ্দীপক-২ হতে পাই, $4x^2+9y^2-40x-108y+388=0$

বা, $4(x^2-10x)+9(y^2-12y)=-388$

বা, $4(x^2-2\cdot x\cdot 5+5^2-25)+9(y^2-2\cdot y\cdot 6+6^2-36)=-388$

বা, $4(x-5{)}^2-100+9(y-6{)}^2-324=-388$

বা, $4(x-5{)}^2+9(y-6{)}^2=100+324-388$

বা, $4(x-5{)}^2+9(y-6{)}^2=36$

বা, $\frac{4(x-5{)}^2}{36}+\frac{9(y-6{)}^2}{36}=1$

বা, $\frac{(x-5{)}^2}{9}+\frac{(y-6{)}^2}{4}=1$

বা, $\frac{X^2}{3^2}+\frac{Y^2}{2^2}=1$

(1) নং কণিকটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।

যেখানে, $a=3,b=2,X=x-5,Y=y-6$

এখানে, a > b

$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

$=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$

$\therefore$ উপবৃতটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $X=\pm \mathrm{ae}$

বা, $x-5=\pm 3\times \frac{\sqrt{5}}{3}$

বা, $x=\pm \sqrt{5}+5$

নির্ণেরয় উপবৃত্তির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $x=\pm \sqrt{5}+5$.