সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক -১: একটি…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২১ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপক-১ হতে,

কণিকের উপকেন্দ্র $(0,\pm 4)$

এবং উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\left(\frac{4}{5}\right)$

স্থানাঙ্কদ্বয় $y$-অক্ষে অবস্থিত। কণিকটি হবে উপবৃত্ত।

ধরি, উপবৃত্তের সমীকরণ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1........\left(i\right)$

প্রশ্নমতে, কণিকটি y-অক্ষে অবস্থান করবে। $[\because e=\left(\frac{4}{5}\right)]$

$\therefore$ be $=4$

$\Rightarrow b=\frac{4}{\frac{4}{5}}=5$

আবার, $e^2=\frac{16}{25}$

$\Rightarrow 1-\frac{a^2}{b^2}=\frac{16}{25}$

$\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$

$\Rightarrow a^2=\frac{9}{25}\times 25=9$

সমীকরণ (i) এ $a^{2}3b^2$ এর মান বসিয়ে পাই,

নির্ণেয় কণিকের সমীকরণ: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$

দেওয়া আছে,

$f(x,y)=4x^2+9y^2-8x-36y+4$

এখন, $f(x,y)=0$

$4x^2+9y^2-8x-36y+4=0$

$\Rightarrow 4(x^2-2x)+9(y^2-4y)=-4$

$\Rightarrow 4(x^2-2\cdot x\cdot 1+1^2)+9(y^2-2\cdot y\cdot 2+2^2)=-4+4+36$

$\Rightarrow 4(x-1{)}^2+9(y-2{)}^2=36$

$\Rightarrow \frac{(x-1{)}^2}{3^2}+\frac{(y-2{)}^2}{2^2}=1$

$\Rightarrow \frac{X^2}{3^2}+\frac{Y^2}{2^2}=1$ [যেখানে, $X=x-1$,

$Y=y-2]$

$\therefore a=3,b=2[a>b]$

এখন,

$e=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$

উপকেন্দ্রীক লম্বের সমীকরণ: $X=\pm \mathrm{ae}$

$\Rightarrow x-1=\pm 3\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\therefore x=\pm \sqrt{5}+1$

ইহাই নির্ণেয় উপ উপকেন্দ্রীক লম্বের সমীকরণ।