সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১: একটি উপবৃত্তের…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২২ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপক-১ হতে পাই,

কণিকটির উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{1}{\sqrt{2}}$ এবং উপকেন্দ্র $S=(2,0)$ ।

ধরি, কণিকের উপরন্থ $P(x,y)$ যেকোনো একটি বিন্দু।

নিয়ামক রেখা x অক্ষের উপর লম্ব।

$\therefore$ নিয়ামকরেখার সমীকরণ, $x=a$.........(1)

(1) নং রেখাটি আবার $(8,0)$ বিন্দুগামী,

$\therefore 8=a$

$\therefore$ নিয়ামকরেখার সমীকরণ, $x=8$

বা, $x-8=0$

$\therefore$ উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,

$\mathrm{SP}=\mathrm{ePM}$ [যেখানে PM হলো P থেকে নিয়ামকরেখার উপর লম্ব]

বা, $\sqrt{(x-2{)}^2+(y-0{)}^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{|x-8|}{\sqrt{1^2}}$

বা, $(x-2{)}^2+y^2=\frac{1}{2}(x-8{)}^2$ [বর্গ করে]

বা, $x^2-4x+4+y^2=\frac{1}{2}(x^2-16x+64)$

বা, $2x^2-8x+8+2y^2=x^2-16x+64$

বা, $2x^2-8x+8+2y^2-x^2+16x-64=0$

$\therefore x^2+2y^2+8x-56=0$

যা নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ। (দেখানো হলো)

এখানে, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্র যথাক্রমে A(-2,1) এবং S(-6,-3)। সুতরাং অক্ষরেখা AS এর সমীকরণ হবে।

$\frac{y-1}{x-(-2)}=\frac{1-(-3)}{-2-(-6)}$

বা, $\frac{y-1}{x+2}=\frac{4}{-2+6}=\frac{4}{4}$

বা, $\frac{\dot{y}-1}{x+2}=1$

বা, $y-1=x+2$

বা, $x-y+3=0$ ........ (1)

আবার, ধরি, নিয়ামকরেখা MZM' অক্ষরেখাকক $Z(\alpha ,\beta )$ বিন্দুতে ছেদ করে।

সুতরাং ZA = AS অর্থাৎ ZS এর মধ্যবিন্দু হলো A।

$\frac{\alpha -6}{2}=-2$ 

বা, $\alpha -6=-4$

বা, $\alpha =-4+6$

$\therefore \alpha =2$

এবং $\frac{\beta -3}{2}=1$

বা, $\beta -3=2$ বা, $\beta =2+3$

$\therefore \beta =5$

$\therefore Z(2,5)$

MZM' রেখা (1) নং রেখার উপর লম্ব।

$\therefore {\mathrm{MZM}}^{\prime }$ রেখার সমীকরণ $x+y+k=0$ ........... (2)

(2) নয় রেখাটি, $Z(2,5)$ বিন্দুগামী,

$\therefore 2+5+k=0$

বা, $k=-7$

$\therefore$ নিয়ামকরেখা $MZ{M}^{◻}$ এর সমীকরণ $x+y-7=0$

ধরি, পরাবৃত্তের উপরস্থ যে কোনো একটি বিন্দু $P(x,y)$

পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসার, $\mathrm{SP}=\mathrm{PM}$

$\sqrt{\{x-(-6){\}}^2+\{y-(-3){\}}^2}=\frac{|x+y-7|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

বা, $(x+6{)}^2+(y+3{)}^2=\frac{(x+y-7{)}^2}{1+1}[$ বর্গ করে]

বা, $x^2+12x+36+y^2+6y+9=\frac{1}{2}(x^2+y^2+49+2xy-14x-14y)$

বা, $2x^2+24x+72+2y^2+12y+18=x^2+y^2+49+2xy-14x-14y$

বা, $2x^2+24x+2y^2+12y+90-x^2-y^2-49-2xy+14x+14y=0$

বা, $x^2+y^2-2xy+38x+26y+41=0$

নির্ণেয় সমীকরণ, $x^2+y^2-2xy+38x+26y+41=0$.