সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১: একটি উপবৃত্তর…’ ২০২৪ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় S'( $0,-4),S(0,4)$ এর মধ্যবিন্দুর স্থানাংক

$=(\frac{0+0}{2},\frac{-4+4}{2})=(0,0)$

উপকেন্দ্র দুটির ভুজ $=0$

অর্থাৎ, বৃহৎ অক্ষ এবং ক্ষুদ্র অক্ষ $x$ অক্ষ,

ধরি, উপবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a<b)$

$p(3,0)$ বিন্দুটি উপবৃত্তের ওপর অবস্থিত।

এখন,

$\begin{array}{cc}& S^{\prime }P=\sqrt{(3-0{)}^2+(0+4{)}^2}=5\\ & \mathrm{SP}=\sqrt{(3-0{)}^2+(0+4{)}^2}=5\end{array}$

বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য্য $=2b$

বা, $S^{\prime }P+\mathrm{SP}=2b$

বা, $5+5=2b$

$\therefore b=5$

যেহেতু উপবৃত্তটি $(3,0)$ বিন্দু দিয়ে যায়,

$\frac{3^2}{a^2}+\frac{0^2}{5^2}=1$

বা, $\frac{9}{a^2}=1$

$\therefore a=3$

সুতরাং, উপবৃত্তের সমীকরণ,

$\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{5^2}=1$

বা, $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$

বা, $25x^2+9y^2=225$ (Ans)

$9y^2-16x^2-64x-54y-127=0$

বা, $9(y^2-6y+9)-16(x^2+4x+4)=114$

বা, $9(y-3{)}^2-16(x+2{)}^2=144$

বা, $\frac{(y-3{)}^2}{16}+\frac{(x+2{)}^2}{9}=1$ ........ (i)

(i) নং সমীকরণটি $\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2}{a^2}=1$ অধিবৃত্তের সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

অর্থাৎ, $Y=y-3$ এবং $X=X+2$

এবং$b=4\text{ এবং }a=3$

উৎকেন্দিকতা, $e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}$

$\begin{array}{cc}& =\sqrt{1+\frac{9}{16}}\\ & =\frac{5}{4}\end{array}$

নিয়ামক রেখার সমীকরণ,

$Y=\pm \frac{b}{e}$

বা, $y-3=\pm \frac{4}{\frac{5}{4}}$

বা, $y-3=\pm \frac{16}{5}$

বা, $5y-15=\pm 16$

$\therefore 5y+1=0$ অথবা, $5y-31=0$  (Ans).