সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১ : এ্রকটি…’ যশোর বোর্ড ২০২২ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, কণাটি O বিন্দু হতে f₁সুষম ত্বরণে t₁ সময় পর A বিন্দুতে পৌঁছে। এরপর A বিন্দু হতে B বিন্দুতে ₂ সুষম মন্দনে t₂ সময় পর থামে।

মোট সময়, $t=t_1+t_2$

সুতরাং মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব, $S=\mathrm{OA}+\mathrm{AB}$

সুষম ত্বরণের ক্ষেত্রে, $v=u+f_1{t}_1$

বা, $v=0+f_1{t}_1$

বা, $\frac{v}{f_1}=t_1$

সুষম মন্দনের ক্ষেত্রে, $0=v-f_2{t}_2$

বা, $t_2=\frac{v}{f_2}$

সুতরাং, $t_1+t_2=t=\frac{v}{f_1}+\frac{v}{f_2}$

$\therefore t=v(\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2})..........\left(i\right)$

আবার, $\mathrm{OA}=\frac{0+v}{2}\cdot t_1$

$\therefore \mathrm{OA}=\frac{{\mathrm{vt}}_1}{2}$

এবং $AB=\frac{v+0}{2}\cdot t_2$

$\therefore \mathrm{AB}=\frac{{\mathrm{vt}}_2}{2}$

$\therefore \mathrm{OA}+\mathrm{AB}=S=\frac{v}{2}(t_1+t_2)$

বা, $S=\frac{v}{2}t$$v=\frac{2S}{t}$

সমীকরণ (i)-এ v = $\frac{2S}{t}$ বসিয়ে পাই,

$t=\frac{2S}{t}(\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2})$

$\therefore \frac{t^2}{2s}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}$. (প্রমাণিত)f

এখানে, প্রক্ষিপ্ত বস্তুর আদিবেগ $=u$ এবং প্রক্ষেপণ কোণ $=\alpha$, বৃহত্তম উচ্চতা $=H$ এবং পাল্লা $=R$

আমরা জানি, কোনো বিন্দু হতে $u$ আদিবেগ $\alpha$ কোণে প্রক্ষিপ্ত বস্তুর সর্বোচ্চ উচ্চতা, $H=\frac{u^2{\sin }^2\alpha }{2g}$

এবং অনুভূমিক পাল্লা, $R=\frac{u^2\sin 2u}{g}$

বা, $R=\frac{2u^2\sin \alpha \cdot \cos \alpha }{g}$

বা, $R^2=\frac{4u^4{\sin }^2\alpha \cdot {\cos }^{2}u}{g^2}$ |বর্গ করে|

বা, $R^2=\frac{4u^4{\sin }^2\alpha (1-{\sin }^2\alpha )}{g^2}$

$=\frac{4u^4{\sin }^2\alpha -4u^4{\sin }^4\alpha }{g^2}$

বা, $R^2=\frac{4u^2{\sin }^2\alpha }{g^2}-\frac{4u^4{\sin }^{4}u}{g^2}$

বা, $R^2=\frac{8u^2}{g}\cdot \frac{u^2{\sin }^{2}u}{2g}-{\left(\frac{u^2{\sin }^2\alpha }{2g}\right)}^2\cdot 4.4$

বা, $R^2=\frac{8u^2}{g}\cdot H-H^2\cdot 16$

বা, ${\mathrm{gR}}^2=8u^{2}H-16{\mathrm{gH}}^2[g$ দ্বারা গুণ করে]

$\therefore 16{\mathrm{gH}}^2-8u^{2}H+{\mathrm{gR}}^2=$ Q. (প্রমাণিত)