সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১ : f(x)=2×3−9×2+12x−5.উদ্দীপক-২:…’ রাজশাহী কলেজ ২০২৫ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\sec 5x$

$\therefore g(x+h)=\sec 5(x+h)=\sec (5x+5h)$

মূল নিয়মের সংখ্যানুসারে,

$\frac{d}{dx}g\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}$

$\therefore \frac{d}{dx}(\sec 2x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sec (2x+2h)-\sec 2x}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}[\frac{1}{\cos (2x+2h)}-\frac{1}{\cos 2x}]$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\left[\frac{\cos 2x-\cos (2x+2h)}{\cos 2x\cdot \cos (2x+2h)}\right]$

মূল নিয়মের সংখ্যানুসারে,

$\frac{d}{dx}g\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}$

$\therefore \frac{d}{dx}(\sec 2x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sec (2x+2h)-\sec 2x}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}[\frac{1}{\cos (2x+2h)}-\frac{1}{\cos 2x}]$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\left[\frac{\cos 2x-\cos (2x+2h)}{\cos 2x\cdot \cos (2x+2h)}\right]$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}[\frac{2\sin \left(\frac{2x+2x+2h}{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{2x+2h-2x}{2}\right)}{\underset{h\to 0}{lim}}[\frac{1}{h}\left[\frac{2\sin (2x+h)\cdot \sin h}{\cos 2x\cdot \cos (2x+2h)}\right]$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{2}{h}\left[\frac{\sin (2x+h)\cdot \sin h}{\cos 2x\cdot \cos (2x+2h)}\right]$

$\underset{h\to 0}{lim}\sin (2x+h)\cdot h\to 0\left(\frac{\sin h}{h}\right)$

$=2\cdot \frac{lim}{h\to 0}\cos 2x\cdot \cos (2x+2h)$

$=2\cdot \frac{\sin 2x\cdot 1}{\cos 2x\cdot \cos 2x}$

$\therefore \frac{d}{\mathrm{dx}}(\sec 2x)=2\sec 2x\tan 2x$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x-5$

$\therefore f^{\prime }\left(x\right)=6x^2-18x+12$

যে সকল ব্যবধিতে f(x) এর মান বৃদ্ধি পায় সেখানে

$f^{\prime }\left(x\right)>0$

বা, $6x^2-18x+12>0$

বা, $x^2-3x+2>0$

বা, $x^2-2x-x+2>0$

বা, $x(x-2)-1(x-2)>0$

বা, $(x-2)(x-1)>0$ ...... (i)

অসমতাটি সত্য হবে যদি $\left(x2\right)$ এবং $(x-1)$ উভয়েই ধনাত্মক অথবা উভয়েই ঋণাত্মক হয় অর্থাৎ, $x>2$ অথবা $x<1$ হয় 

$\therefore x<1$ অথবা $x>-2$ ব্যবধিতে $f\left(x\right)$ বৃদ্ধি পায়।

আবার, $f\left(x\right)$ হ্রাস প্রাপ্ত হলে, $f^{\prime }\left(x\right)<0$

বা, $(x-2)(x-1)<0$

অসমতাটি সত্য হবে যদি $1<x<2$ হয়। 

অর্থাৎ, $1<x<2$ ব্যবধিতে $f\left(x\right)$ হ্রাস প্রাপ্ত।