সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১ : f(x)=cosecx,g(x)=sec⁡xউদ্দীপক-২…’ সিলেট এমসি কলেজ ২০২৫ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\mathrm{cosec}x$ এবং $g\left(x\right)=\sec x$

এখন, $f(x+\frac{\pi }{2})-2g(\frac{\pi }{2}-2x)=0$

বা, $\mathrm{cosec}(\frac{\pi }{2}+x)-2\sec (\frac{\pi }{2}-2x)=0$

বা, $\sec x-2\mathrm{cosec}2x=0$

বা, $\frac{1}{\cos x}-\frac{2}{\sin 2x}=0$

বা, $\frac{1}{\cos x}-\frac{2}{2\sin x\cos x}=0$

বা, $\frac{2\sin x-2}{2\sin x\cos x}=0$

বা, $2\sin x-2=0$

বা, $2(\sin x-1)=0$

বা, $\sin x-1=0$ বা, $\sin x=1$

$\therefore x=(4n+1)\frac{\pi }{2}$; যেখানে $n\in Z$

নির্ণেয় সমাধান : $x=(4n+1)\frac{\pi }{2}$.

দেওয়া আছে, $A={\sec }^{-1}\frac{3}{x}$ এবং $B={\sec }^{-1}\frac{4}{y}$

এখানে, $A-B=\frac{\pi }{2}$

বা, ${\sec }^{-1}\frac{3}{x}-{\sec }^{-1}\frac{4}{y}=\frac{\pi }{2}$

বা, ${\cos }^{-1}\frac{x}{3}-{\cos }^{-1}\frac{y}{4}=\frac{\pi }{2}$.

বা, ${\cos }^{-1}\{\frac{xy}{12}+\sqrt{(1-\frac{x^2}{9})(1-\frac{y^2}{16})}\}=\frac{\pi }{2}$

বা, $\frac{xy}{12}+\sqrt{(1-\frac{x^2}{9})(1-\frac{y^2}{16})}=\cos \frac{\pi }{2}$

বা, $\frac{xy}{12}+\sqrt{(1-\frac{x^2}{9})(1-\frac{y^2}{16})}=0$

বা, $\frac{xy}{12}=-\sqrt{(1-\frac{x^2}{9})(1-\frac{y^2}{16})}$

বা, ${\left(\frac{xy}{12}\right)}^2={\{-\sqrt{(1-\frac{x^2}{9})(1-\frac{y^2}{16})}\}}^2$ [বর্গ করে]

বা, $\frac{x^2{y}^2}{144}=(1-\frac{x^2}{9})(1-\frac{y^2}{16})$

বা, $\frac{x^2{y}^2}{144}=1-\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}+\frac{x^2{y}^2}{144}$

বা, $\frac{x^2{y}^2}{144}+\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{9}-\frac{x^2{y}^2}{144}=1$

বা, $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$

$\therefore \frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{4^2}=-1$

যা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ, সমীকরণটিকে উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ সাথে তুলনা করে পাই, $a=3$ এবং $b=4$

$\therefore a<b$

$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\sqrt{1-\frac{3^2}{4^2}}$

$=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{16-9}{16}}=\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা $\frac{\sqrt{7}}{4}$.