সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১: f(x)=cos⁡x.উদ্দীপক-২ :…’ নটরডেম কলেজ ২০২৫ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\cos x$

বামপক্ষ $=\left\{f\right(x){\}}^3+\{{\left\{({120}^{\circ }+x)\right\}}^3+{\left\{f({240}^{\circ }+x)\right\}}^3$

$={\cos }^{3}x+{\cos }^3({120}^{\circ }+x)+{\cos }^3({240}^{\circ }+x)$

$=\frac{1}{4}\{4{\cos }^{3}x+4{\cos }^3({120}^{\circ }+x)+4{\cos }^3({240}^{\circ }+x)\}$

$=\frac{1}{4}\{\cos 3x+3\cos x+\cos 3({120}^{\circ }+x)+3\cos ({120}^{\circ }+x)$

$+\cos 3({240}^{\circ }+x)+3\cos ({240}^{\circ }+x)\}$

$=\frac{1}{4}[\cos 3x+3\cos x+\cos ({720}^{\circ }+3x)+\cos ({360}^{\circ }+3x)$

$+3\{\cos ({240}^{\circ }+x)+\cos ({120}^{\circ }+x)\}]$

$=\frac{1}{4}\{\cos 3x+3\cos x+2\cos ({540}^{\circ }+3x)\cos {180}^{\circ }$

$+3.2\cos ({180}^{\circ }+x)\cos {60}^{\circ }\}$

$=\frac{1}{4}(\cos 3x+3\cos x+2\cos 3x\cdot 1-3.2\cos x\cdot \frac{1}{2})$

$=\frac{1}{4}(\cos 3x+3\cos x+2\cos 3x-3\cos x)$

$=\frac{1}{4}\times 3\cos 3x=\frac{3}{4}\cos 3x=\frac{3}{4}f\left(3x\right)=$ ডানপক্ষ 

$\therefore \left\{f\right(x){\}}^2+\{{\left\{({120}^{\circ }+x)\right\}}^3+{\left\{({240}^{\circ }+x)\right\}}^3=\frac{3}{4}f(3x)$ প্রমাণিত)

বামপক্ষ $=g(A+B-C)+g(B+C-A)$

$+g(C+A-B)$

$=\sin (\dot{A}+B-C)+\sin (B+C-A)$

$+\sin (C+A-B)$

$=\sin \left\{\right(A+B+C)-2C\}$

$+\sin \left\{\right(A+B+C)-2A\}$

$+\sin \left\{\right(A+B+C)-2B\}$

$=\sin (\pi -2C)+\sin (\pi -2A)+\sin (\pi -2B)$

$[\because \mathrm{ABC}$ ত্রিভুজে, $\angle A+\angle B+\angle C=\pi ]$

$=\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C$

$=2\sin \frac{2A+2B}{2}\cos \frac{2A-2B}{2}+\sin 2C$

$=2\sin (A+B)\cos (A-B)+\sin 2C$

$=2\sin (\pi -C)\cos (A-B)+\sin 2C$

$=2\sin C\cos (A-B)+2\sin C\cos C$

$=2\sin C\{\cos (A-B)+\cos C\}$

$=2\sin C\{\cos (A-B)+\cos (\pi -A-B\left)\right\}$

$=2\sin C\{\cos (A-B)-\cos (A+B\left)\right\}$

$=2{\sin }^{\prime }C\times 2\sin A\sin B$

$=4\sin A\sin B\sin C=4\times \frac{2\Delta }{bc}\times \frac{2\Delta }{ca}\times \frac{2\Delta }{ab}$

$[\because \Delta =\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B]$

$=\frac{32{\Delta }^3}{a^2{b}^2{c}^2}=$ ডানপক্ষ

$\therefore g(A+B-C)+g(B+C-\dot{A})+g(C+A-B)=$

$\frac{32{\Delta }^3}{a^2{b}^2{c}^2}.$ (প্রমাণিত)