সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১: f(x)=cos⁡xউদ্দীপক-2: cot−1⁡(1x)+12sec−1⁡(1+y21−y2)+12cosec−1(1+z22z)=π.…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২২ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\cos x$

$\therefore f(\frac{\pi }{2}-x)=\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\sin x$

প্রদত্ত সমীকরণ, $f\left(x\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}f(\frac{\pi }{2}-x)=\frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $\cos x+\frac{1}{\sqrt{3}}\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\frac{1}{\sqrt{3}}$ বা, $\cos x+\frac{1}{\sqrt{3}}\sin x=\frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $\sqrt{3}\cos x+\sin x=1$

বা, $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=\frac{1}{2}$

[উভয়পক্ষকে $\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}$ বা 2 দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\cos x\cdot \cos \frac{◻}{6}+\sin x\cdot \sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$

বা, $\cos (x-\frac{\pi }{6})=\cos \frac{\pi }{3}$

বা, $x-\frac{\pi }{6}=2n\pi \pm \frac{\pi }{3},n\in Z$

$\therefore x=2n\pi \pm \frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}=2n\pi +\frac{\pi }{2},2n\pi -\frac{\pi }{6}$

এখন, $n=0$ হলে, $x=\frac{\pi }{2},\frac{-\pi }{6}$

$n=1$ হলে, $x=\frac{5\pi }{2},\frac{11\pi }{6}$

$n=-1$ হলে, $x=\frac{-3\pi }{2},\frac{-13\pi }{6}$

$n=2$ হলে, $x=\frac{9\pi }{2},\frac{23\pi }{6}$

$n=-2$ হলে, $x=-\frac{7\pi }{2},-\frac{25\pi }{6}$

$-2\pi <x<2\pi$ ব্যবধিতে নির্ণেয় সমাধান : $x=-\frac{3\pi }{2},-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2},\frac{11\pi }{6}$.

উদ্দীপক-২ হতে,

${\cot }^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{2}{\sec }^{-1}\left(\frac{1+y^2}{1-y^2}\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{cosec}}^{-1}\left(\frac{1+z^2}{2z}\right)=\pi$

বা, ${\tan }^{-1}x+\frac{1}{2}\cdot {\cos }^{-1}\frac{1-y^2}{1+y^2}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{2z}{1+z^2}=\pi$

বা, ${\tan }^{-1}x+\frac{1}{2}\times 2{\tan }^{-1}y+\frac{1}{2}\times 2{\tan }^{-1}z=\pi$

$[\because 2{\tan }^{-1}x={\tan }^{-1}\frac{2x}{1-x^2}={\sin }^{-1}\frac{2x}{1+x^2}={\cos }^{-1}\frac{1-x^2}{1+x^2}]$

বা, ${\tan }^{-1}x+{\tan }^{-1}y+{\tan }^{-1}z=\pi$

বাবাবাবাবাপ্রমাণিত$\begin{array}{cc}& \text{ বা, }{\tan }^{-1}\frac{x+y}{1-xy}+{\tan }^{-1}z=\pi \\ & \text{ বা, }{\tan }^{-1}\frac{\frac{x+y}{1-xy}+z}{1-\frac{x+y}{1-xy}\cdot z}=\pi \\ & \text{ বা, }\frac{\frac{x+y+z-xyz}{1-xy}}{\frac{1-xy-xz-yz}{1-xy}}=\tan \pi \\ & \text{ বা, }\frac{x+y+z-xyz}{1-xy-yz-zx}=0\\ & \text{ বা, }x+y+z-xyz=0\\ & \therefore x+y+z=xyz\text{ (প্রমাণিত) }\end{array}$