সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১ : f(x)=sin⁡4xউদ্দীপক-২…’ হলিক্রস কলেজ ২০২৬ – ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

 দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin 4x;-\pi <x<\pi$

$-\pi <x<\pi$ ব্যবধিতে x এর বিভিন্ন মানের জন্য $f\left(x\right)$ এর সংশ্লিস্ট মান বের করে নিচের ছক তৈরি করি : 

x অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1 বাহু $=\frac{\pi }{18}$ এবং y -অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 10 বাহু $=1$ একক ধরে বিন্দুগুলো গ্রাফ কাগজে বসিয়ে সুষমভাবে যোগ করে $\sin 4x$ এর লেখচিত্র অঙ্কন করি।

লেখচিত্রের বৈশিষ্ট্য :

(i). লেখচিত্রটি অবিচ্ছিন্ন এবং আকার ঢেউ-এর মতো।

(ii) x এর মান $\frac{\pi }{2}$ এর বিজোড় গুণিতক হলে $f\left(x\right)$ এর সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান পাওয়া যায়।

(iii) মূলবিন্দুতে এবং যে সকল বিন্দুর জন্য x এর মান $\frac{\pi }{2}$ এর জোড় গুণিতকের সমান হয়, সে সকল ক্ষেত্রে $f\left(x\right)$ এর মান শূন্য হয়।

দেওয়া আছে, $f:R\to R,f\left(x\right)=\frac{2x+3}{4x-5}$

ধরি, $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ যেখানে, $x_1,x_2\in R$

বা, $\frac{2x_1+3}{4x_1-5}=\frac{2x_2+3}{4x_2-5}$

বা, $8x_1{x}_2-10x_1+12x_2-15=8x_1{x}_2+12x_1-10x_2-15$

বা, $22x_1=22x_2$

বা, $x_1=x_2$

$\therefore f\left(x\right)$ এক-এক ফাংশন।

আবার, ধরি, $y=f\left(x\right)=\frac{2x+3}{4x-5}$
বা, $4xy-5y=2x+3$
বা, $4xy-2x=5y+3$
বা, $2x(2y-1)=5y+3$
বা, $x=\frac{5y+3}{2(2y-1)}$$........\left(i\right)$

দেখা যাচ্ছে ফাংশনটি $y=\frac{1}{2}$ এর জন্য সংজ্ঞায়িত নয়।
$\therefore f\left(x\right)$ এর রেঞ্জ $\ne f\left(x\right)$ এর কোডোমেন।
সুতরাং, ফাংশনটি সার্বিক নয়।
এখন, $y=f\left(x\right)$ হলে, $x=f^{-1}\left(y\right)$
(1) নং হতে পাই, $f^{-1}\left(y\right)=\frac{5y+3}{2(2x-1)}$

বা, $f^{-1}\left(x\right)=\frac{5x+3}{2(2x-1)}$
$f^{-1}\left(x\right)$ ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হবে যদি $2x-1\ne 0$ হয়
বা, $x\ne \frac{1}{2}$

$\therefore \mathrm{Dom}{f}^{-1}=R-\left\{\frac{1}{2}\right\}.$