সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১: M=cos−1⁡15−12sin−1⁡35+tan−1⁡13.উদ্দীপক-২ :…’ ঢাকা বোর্ড ২০২২ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপক-১ হতে,

$\begin{array}{cc}M& ={\cos }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+{\tan }^{-1}\frac{1}{3}\\ & ={\tan }^{-1}2-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot 2{\tan }^{-1}\frac{1}{3}\\ & ={\tan }^{-1}2-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot {\sin }^{-1}\frac{2\cdot \frac{1}{3}}{1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}\\ & ={\tan }^{-1}2-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{2/3}{1+\frac{1}{9}}\\ & ={\tan }^{-1}2-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{2}{3}\times \frac{9}{10}\\ & ={\tan }^{-1}2-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}\\ & ={\cot }^{-1}\frac{1}{2}\end{array}$
(দেখানো হল)

উদ্দীপক-২ হতে দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin x$ এবং $g\left(x\right)=\cos x$

প্রদত্ত সমীকরণ:

$f\left(x\right)+g\left(x\right)=g\left(2x\right)+f\left(2x\right)$

$\Rightarrow \sin x+\cos x=\cos 2x+\sin 2x$  মান বসিয়ে পাই,

$\Rightarrow \cos x-\cos 2x=\sin 2x-\sin x$

এখন,

$\cos C-\cos D=2\sin \frac{C+D}{2}\sin \frac{D-C}{2}$ এবং $\sin C-\sin D=2\cos \frac{C+D}{2}\sin \frac{C-D}{2}$

সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

$\Rightarrow 2\sin \frac{x+2x}{2}\sin \frac{2x-x}{2}=2\cos \frac{2x+x}{2}\sin \frac{2x-x}{2}$

$\Rightarrow 2\sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}=2\cos \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}$

$\Rightarrow 2\sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}-2\cos \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}=0$

$\Rightarrow 2\sin \frac{x}{2}(\sin \frac{3x}{2}-\cos \frac{3x}{2})=0$

$\Rightarrow \sin \frac{x}{2}(\sin \frac{3x}{2}-\cos \frac{3x}{2})=0$

হয়,

$\sin \frac{x}{2}=0$

$\Rightarrow \frac{x}{2}=n\pi$ ; যেখানে $n\in Z$

$\therefore x=2n\pi$

অথবা,

$\sin \frac{3x}{2}-\cos \frac{3x}{2}=0$

$\Rightarrow \sin \frac{3x}{2}=\cos \frac{3x}{2}$

$\Rightarrow \frac{\sin \frac{3x}{2}}{\cos \frac{3x}{2}}=1$

$\Rightarrow \tan \frac{3x}{2}=1=\tan \frac{\pi }{4}$

আমরা জানি,

$\tan \theta =\tan \alpha$ হলে $\theta =n\pi +\alpha$

$\Rightarrow \frac{3x}{2}=n\pi +\frac{\pi }{4}$ ; যেখানে $n\in Z$

$\Rightarrow 3x=2n\pi +\frac{\pi }{2}$ (উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা গুণ করে)

$\Rightarrow x=\frac{2n\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$

$\Rightarrow x=\frac{4n\pi +\pi }{6}$

$\therefore x=(4n+1)\frac{\pi }{6}$

নির্ণেয় সমাধান: $x=2n\pi$ অথবা $x=(4n+1)\frac{\pi }{6}$ ; যেখানে $n\in Z$