সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১: sec⁡α=px,sec⁡β=qy;উদ্দীপক-২: f(x)=sec⁡x…’ বরিশাল বোর্ড ২০২১ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপক-১ হতে পাই,

$\sec \alpha =\frac{p}{x}$

$\Rightarrow \alpha ={\sec }^{-1}\frac{p}{x}$

$\Rightarrow \alpha ={\cos }^{-1}\frac{x}{p}$

এবং

$\sec \beta =\frac{q}{y}$

$\Rightarrow \beta ={\sec }^{-1}\frac{q}{y}$

$\Rightarrow \beta ={\cos }^{-1}\frac{y}{q}$

প্রশ্নমতে, $\alpha +\beta =\gamma$

$\Rightarrow {\cos }^{-1}\frac{x}{p}+{\cos }^{-1}\frac{y}{q}=\gamma$

$\Rightarrow {\cos }^{-1}\{\frac{x}{p}\cdot \frac{y}{q}-\sqrt{(1-\frac{x^2}{p^2})(1-\frac{y^2}{q^2})}\}=\gamma$

$\Rightarrow \frac{x}{p}\cdot \frac{y}{q}-\sqrt{(1-\frac{x^2}{p^2})(1-\frac{y^2}{q^2})}=\cos \gamma$

$\Rightarrow \sqrt{(1-\frac{x^2}{p^2})(1-\frac{y^2}{q^2})}=(\frac{x}{p}\cdot \frac{y}{q}-\cos \gamma )$

$\Rightarrow 1-\frac{x^2}{p^2}-\frac{y^2}{q^2}+\frac{x^2}{p^2}\cdot \frac{y^2}{q^2}=\frac{x^2}{p^2}\cdot \frac{y^2}{q^2}-2\frac{xy}{pq}\cos \gamma +{\cos }^2\gamma$

$\Rightarrow \frac{x^2}{p^2}-\frac{2xy}{pq}\cos \gamma +\frac{y^2}{q^2}=1-{\cos }^2\gamma ={\sin }^2\gamma$

$\therefore \frac{x^2}{p^2}-\frac{2xy}{pq}\cos \gamma +\frac{y^2}{q^2}={\sin }^2\gamma$

(দেখানো হলো)

উদ্দীপক-২ হতে পাই,

$f\left(x\right)=\sec x$

$\therefore f\left(x\right)f\left(3x\right)+2=0$

$\Rightarrow \sec x\cdot \sec 3x+2=0$

$\Rightarrow \frac{1}{\cos x}\cdot \frac{1}{\cos 3x}=-2$

$\Rightarrow \cos x\cdot \cos 3x=-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow 2\cos 3x\cdot \cos x+1=0$

$\Rightarrow \cos (3x+x)+\cos (3x-x)+1=0$

$\Rightarrow \cos 4x+\cos 2x+1=0$

$\Rightarrow 2\cos 22x+\cos 2x=0$

$\Rightarrow \cos 2x(2\cos 2x+1)=0$

$\therefore \cos 2x=0$

$\Rightarrow 2x=(2n+1)\frac{\pi }{2}$

$\Rightarrow x=(2n+1)\frac{\pi }{4},n\in z$

অথবা, $\cos 2x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$

$\Rightarrow 2x=2n\pi \pm \frac{2\pi }{3}$

$\therefore x=n\pi \pm \frac{\pi }{3},n\in Z$

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধানঃ $x=(2n+1)\frac{\pi }{4},n\pi \pm \frac{\pi }{3},n\in Z$