সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১ : u…’ বরিশাল বোর্ড ২০২২ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

বস্তুটির আপিবেগ $u$, নিক্ষেপণ কোণ $\alpha$ এবং $t$ সময় পর বস্তুটি $(x,y)$ বিন্দুতে পৌছায়।

$\therefore$ বস্তুটির উলম্ব সরণ,

$y=u\sin \alpha t-\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2$ ........... (i)

$t$ সময়ে অনুভূমিক সরণ,

$x=u\cos \alpha t$

বা, $t=\frac{x}{\mathrm{ucos}\alpha }$.

$t$ এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$g=u\sin \alpha \cdot \frac{x}{\mathrm{ucos}\alpha }-\frac{1}{2}g{\left(\frac{x}{\mathrm{ucos}\alpha }\right)}^2$

বা, $y=x\tan \alpha -\frac{1}{2}g\cdot \frac{x^2}{u^2{\cos }^2\alpha }$

বা, $y=x\tan \alpha (1-\frac{\mathrm{gx}}{2u^2{\cos }^2\alpha \tan \alpha })$

বা, $y=\tan \alpha (1-\frac{\mathrm{gx}}{2u^2{\cos }^2\alpha \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }})$

বা, $y=x\tan \alpha (1-\frac{\mathrm{gx}}{2u^2\sin \alpha \cos \alpha })$

বা, $y=x\tan \alpha (1-\frac{x}{R})[\because R=\frac{u^2\sin 2u}{g}]$

বা, $y=x\tan \alpha -\frac{x^2}{R}\tan \alpha$

বা, $Ry=Rx\tan \alpha -x^2\tan \alpha$

বা, $x^2\tan \alpha -xR\tan \alpha +Ry=0$. (দেখানো হলো)

ধরি, আদি অবস্থা হতে পাথরটি পড়তে $t_1$ সে. এবং পতন শব্দ শুনতে $t_2$ সে. সময় লাগে।

$\therefore t=t_1+t_2$ .......... (i)

পাথর পড়ার ক্ষেত্রে, $u=\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}_1^2$ ....... (ii)

এখানে, শব্দের বেগ = $v$ এবং কূয়ার গভীরতা $=h$

আমরা জানি, শব্দ সমবেগো চলে।

$\therefore h={\mathrm{vt}}_2$ ....... (iii)

(ii) ও (iii) নং সমীকরণ হতে পাই,

$t_1=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

এবং $t_2=\frac{h}{v}$

এখন, (i) নং এ $t_1$ ও $t_2$ এর মান বসিয়ে পাই,

$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{h}{v}$

বা, $t-\frac{h}{v}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

বা, ${(t-\frac{h}{v})}^2=\frac{2h}{g}$ [বর্গ করে ]

বা, $t^2+{\left(\frac{h}{v}\right)}^2-\frac{2\mathrm{th}}{v}=\frac{2h}{g}$

${\left(\frac{h}{v}\right)}^2$ অতিক্ষুদ্র বিধায় তা বর্জন করে পাই,

$t^2-\frac{2\mathrm{th}}{v}=\frac{2h}{g}$

বা, $t^2-\frac{2\mathrm{th}}{v}-\frac{2h}{g}=0$

বা, $\frac{{\mathrm{vgt}}^2-2\mathrm{ght}-2\mathrm{hv}}{\mathrm{vg}}=0$

বা, ${\mathrm{vgt}}^2-2\mathrm{ght}-2\mathrm{hv}=0$

$\therefore {\mathrm{vgt}}^2-2h(\mathrm{gt}+v)=0$. (দেখানো হলো)