সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১:u সাতারুর বেগ…’ ঢাকা বোর্ড ২০২২ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, সাতারুর বেগ = u

স্রোতের বেগ= $V$

ধরি, নদীর প্রস্থ $=d$

V ও u বেগদ্বয় যথাক্রমে OA ও OB বরাবর ক্রিয়াশীল লব্ধি বেগ, w যা OD বরাবর ক্রিয়াশীল।

এবং $\angle AOB=\theta$

$\therefore {\omega }^2=u^2+v^2+2uv\cos \theta --$ (i)

$OA$ বরাবর বেগের লম্বাংশ নিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}& v\cos 0^{\circ }+u\cos \theta =w\cos {90}^{\circ }\\ & \Rightarrow v+u\cos \theta =0\\ & \Rightarrow u\cos \theta =-v\end{array}$

(i) নং হতে, $w^2=u^2+v^2-2v^2$.

$\begin{array}{c}=u^2-v^2\\ \therefore w=\sqrt{u^2-v^2}\end{array}$

সাতারু $t^{\prime }$ সময়ে $w$ বেগে $d$ দূরত্ব অতিক্রম করে।

$\therefore d={\mathrm{wt}}^{\prime }$

$\Rightarrow t^{\prime }=\frac{d}{w}........\left(ii\right)$

আবার, স্রোতের অনুকূলে সাতারুর বেগ $U+V$ সাতারু $(U+V)$ বেগে $t^{\prime \prime }$ সময়ে d দূরত্ব অতিক্রম করে,

$d=(u+v)t^{\prime \prime }$

$\Rightarrow t^{\prime \prime }=\frac{d}{u+v}\dots \dots \left(iii\right)$

(ii) $÷$ (iii)

$\frac{t^{\prime }}{t^{\prime \prime }}=\frac{d}{w}\times \frac{u+v}{d}$

$=\frac{U+V}{\sqrt{u^2-v^2}}$

$=\frac{\sqrt{u+v}\sqrt{u+v}}{\sqrt{u+v}\sqrt{u-v}}$

$t^{\prime }:t^{\prime \prime }=\sqrt{u+v}:\sqrt{u-v}$ (দেখানো হল)

দেওয়া আছে,

$R$ পাল্লার দুটি প্রক্ষোপকের দুটি গতিপথের জন্য সর্বোচ্চ উচ্চতা $u_1{u}_2$

ধরি, u গতিবেগে, আনুভূমিকের সাথে $\alpha$ কোণে নিক্ষিপ্ত বস্তুর পাল্লা, $R=\frac{u^2\sin 2\alpha }{g}$....... (i)

একই গতিবেগে নিক্ষিপ্ত বস্তুর একই আনুভূমিক পাল্লা R এর জন্য নিক্ষেপন কোণ দুটি হয়।

একটি $\alpha$ হলে অন্যটি $(\frac{\pi }{2}-\alpha )$

$\alpha$ কোণে নিক্ষিপ্ত বস্তুর সর্বোচ্চ উচ্চতা, $h_1=\frac{u^2{\sin }^2\alpha }{g}$..... (ii)

$(\frac{\pi }{2}-\alpha )$

কোণে নিক্ষিপ্ত বস্তুর সর্বোচ্চ উচ্চতা, $h_2=\frac{u^2{\sin }^2(\frac{\pi }{2}-\alpha )}{2g}=\frac{u^2{\cos }^2\alpha }{2g}\dots$ .......... (iii)

(ii) ও (iii) গুণ করে,

$\begin{array}{cc}& h_1{h}_2=\frac{u^4{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }{4g^2}\\ & \begin{array}{cc}\Rightarrow 16h_1{h}_2& =\frac{16u^4{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }{4g^2}\\ & =\frac{u^4(4{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha )}{g^2}\\ & =\frac{u^4{\sin }^{2}2\alpha }{g^2}\\ & ={\left(\frac{u^2\sin 2\alpha }{g}\right)}^2\\ & =R^2\\ \Rightarrow R& =\sqrt{16h_1{h}_2}\end{array}\\ & \Rightarrow R=4\sqrt{h_1{h}_2}\end{array}$(দেখানো হল)